The Romance of Mathematics
von Elmar Diederichs, 03. Mai 2010, 10:09
Ist die Mathematik eine von allen Spezies unseres Universums geteilte Beschreibung der Struktur der Natur? Oder ist sie wenigstens eine von allen Spezies des Universums geteilte repräsentationale Sprache? Und sind Mathematiker nebelschwadenumwobene Mysterien, die einen personen- unabhängigen und fast magischen Zugang zu nicht jedem zugänglichen Bestandteilen einer im Reich des Logischen angesiedelten, zeitlosen Realität verwalten? Nach meiner Meinung sind das alles nur langweilige Gerüchte. Stattdessen wurzelt diejenige Mathematik, die wir so treiben, in unserer sinnlichen Erfahrung derjenigen physischen Welt, auf die wir beschränkt sind. Aber wie könnte man das begründen?
Man kann darüber diskutieren, von welcher Art mathematisches Räsonieren ist. Sieht man sich unter diesem Aspekt in der Philosophie der Mathematik um, dann trifft man schnell auf das durch die Russell'schen Antinomien zu Fall gebrachte Logizismusprogramm von Gottlob Frege, der beanspruchte, nachzuweisen, daß Mathematik auf Logik zurückgeführt werden kann. Höhepunkt dieser sog. dritten Grundlagenkrise der Mathematik sind die Gödel'schen Theoreme, die Mathematiker bis heute zu Widerspruchs- freiheitsbeweisen für die mathematischen Teildisziplinen veranlassen. Ob der von Brouwer initiierte Intuitionismus, der nur konstruktive Beweise in der Mathematik unter bestimmten Beschränkungen wie z.B. dem Ausschluß des tertium non datur zuläßt, die richtige Reaktion darauf ist, kann hier dahingestellt bleiben - obwohl ich ihn klar favorisieren würde.
Deals Math with Universals in Nature?
In diesem Artikel geht es um eine andere Frage - darum, ob Mathematik erfunden oder entdeckt wird. Daß Mathematik eine hochauflösende Sprache ist, bestreitet wohl niemand ernsthaft. Doch ob mathematische Aussagen etwas repräsentieren - das ist eine epistemische Frage - und was das in diesem Fall bloß sein könnte - das ist eine ontologische Frage - soll hier diskutiert werden. Die im teaser dieses Artikels skizzierte Position, nach der mathematische Aussagen nur entdeckt werden können, werden wir Platonismus in der Mathematik nennen. Die Pointe dieses Artikels liegt darin, daß es möglicherweise für unsere ontologischen und epistemischen Bauchschmerzen in der Mathematik dieselbe naturalistische Arznei gibt - den kognitiven Charakter der sprachlichen Metapher.
Es gibt in Linguistik und Philosophie - vorsichtig geschätzt - etwa dreissig verschiedene Theorien über Metaphern. Natürlich reichen unter diesen Umständen ein paar Absätze nicht aus, den richtigen Ansatz zu formulieren. Wir werden hier daher wie die Mathematiker handeln, indem wir die von Lakoff und Johnson vorgeschlagene kognitive Theorie der Metapher mehr oder weniger voraussetzen, ohne für ihre Richtigkeit einzustehen. Danach werden wir uns fragen, was dieser move für einige zentrale mathematische Konzepte z.B. in der Analysis zur Folge hat. In diesem Zusammenhang werde ich zwei Punkte stark machen: Erstens gibt es Metaphern aus der sinnlichen Erfahrung der physischen Welt, die von der Mathematik lediglich übernommen und formalisiert wurden. Und zweitens ist nicht die komplette und für das Verständnis wesentliche, mathematische Intuition vollständig zu formalen Aussagen geronnen. Wenn aber die in der Mathematik präsenten Metaphern Konstrukte des Geistes sind, dann kann die auf ihnen beruhende Mathematik unmöglich entdeckt, sondern sie muß - anders als die kausalen Abhängigkeiten in der Natur - von uns erfunden worden sein.
The Cognitive Nature of Metaphor
Es gibt Worte, die uns zum Gehen bringen, während andere uns erlahmen oder wie blind umhertappen lassen: Potente Metaphern bilden nicht einfach Sachverhalte ab, die uns klar vor Augen liegen, sondern sie geben Zusammenhängen Gestalt, von denen wir ohne diese Metaphern nichts wüßten. Insofern erscheint uns die Metapher wie eine Affaire zwischen einem Prädikat mit Verwendungsvergangenheit und einem neuen Gegen- stand, der sich unter Protest hingibt. Das gilt vor allem, aber nicht nur im Raum des von Menschen Gemachten und irritierenderweise ist Exaktheit in solchen Fällen die bevorzugte Art, das Thema vollkommen zu verfehlen.
Unabhängig von jeder in der Literatur kursierenden Theorie über sprachliche Metaphern zu beschreiben, um welche Phänomene es sich handelt, ist nicht ohne Tücken. Betrachten wir deshalb einige Beispiele:
- Heinrich ist ein Löwe.
- Das ist der Zahn der Zeit.
- Der schwache Punkt des Arguments wurde attackiert.
Minimalerweise besteht eine Metapher damit offenbar aus vier Teilen: dem primären Gegenstand, dem sekundären Gegenstand, dem Vergleichspunkt und dem Loch im Vokabular als Sinnzentrum der Metapher. Theorien, die sprachliche Metaphern nicht auf eine ornamentale Funktion innerhalb der schönen Literatur beschränken, sondern zu analysieren beanspruchen, teilen sich gegenwärtig in zwei Gruppen: in kognitive und nicht-kognitive Metapherntheorien. Für erstere steht die bewußtseinssteuernde und kognitive Funktion der metaphorischen Sprache im Zentrum. Letztere lassen sich grob in Vergleichs- bzw. Substitutionstheorien und Interaktions- theorien differenzieren.
Doch nicht-kognitive Ansätze sind prima facie wenig überzeugend: Nicht alle Metaphern sind in eine Folge von Vergleichen äquivalent überführbar, wie Vergleichstheorien das behaupten. Betrachten wir ein Beispiel: "Wenn das Blut lodert, wie verschwenderisch verleiht die Seele der Zunge Schwüre." läßt sich kaum in Vergleiche übersetzen und wenn wir es doch versuchen, sind die Ähnlichkeiten, die wir nennen, oft selbst figurativ, so daß der ganze Vorschlag, Metaphern als Vergleiche zu analysieren, bestenfalls zirkulär ist. Der Substitutionstheorie nahe stehende Autoren behaupten hingegen, daß Metaphern Ablösungen eines Wortetiketts von seinem Träger und einen Transfer auf einen ähnlichen, neuen Träger darstellen. Doch meistens ist es so gut wie unmöglich, allein der sprachlichen Bedeutung der verwendeten Worte nach die ''eigentliche'' einer ''uneigentlichen'' Ausdrucksverwendung gegenüberzustellen. Es ist - soweit ich weiß - auch bisher niemandem gelungen, ohne Metaphern in allen Fällen metaphorischer Redeweise die geforderte Ähnlichkeit der Träger darzulegen. Vertreter der Interaktions- theorie sehen Metaphern typischerweise als Bestandteil einer komplexen Kommunikationsssituation, bzgl. der sie einen irreduziblen, kognitiven Gehalt haben, indem sie gegen feste Spielregeln der Wortverwendung verstoßen. Doch wenn das der Fall wäre, dann wäre die Verwendung sprachlicher Metaphern unverständlich oder wenigstens irreführend, nicht aber sinnstiftend.
Die kognitiven Metapherntheorien hingegen vermuten, daß Fragen der Konzeptualisierung, der sprachlichen Bedeutung, des Begründens oder der Sprache selbst primär empirische Fragen sind, die nicht apriori beantwortet werden können. Die semantische Natur der Metapher ist demnach eine Sache der Erkenntnis, nicht der Definition. Metaphern sind in diesem Sinne Leitfossilien aus einer archaischen Schicht des Prozesses theoretischer Neugierde, versehen mit einer Fülle von Stimulationen und Wahrheits- erwartungen: Wir benutzen systematisch Modelle und Muster von Schlüssen aus einem Bereich unserer Begriffe, um einen anderen, neuen und noch unbekannten Bereich zu erschließen und zu konzeptualisieren. Solche Übertragungen von Begriffen sind rein empirisch, motiviert durch deren bisherige theoretische Fruchbarkeit, ihre Diskriminationsfähigkeit, und sie hängen entscheidend von unseren Erfahrungen über die Schnitt- stelle beider Bereiche ab. Betrachten wir dazu ein Beispiel: Die Metapher des Querkopfs z.B. wurde in der Geometrie geboren, verpflanzt in die Mechanik fluider Medien, und schließlich ins Mentale exportiert, um den Widerwillen von Personen gegen den jede Art von Überzeugungs- demokratie kenntlich zu machen. Nach dem kognitiven Ansatz bleibt eine Metapher aber immer metaphorisch, d.h. nichts garantiert, daß eine Metapher irgendwann einmal eine elaborierte und haltbare Theorie erhalten wird, die ihre Bildung und Verwendung nachträglich legitimiert.
Wir werden die Richtigkeit dieses letzten, kognitiven Ansatzes zur Analyse von Metaphern voraussetzen, wenn wir uns im nächsten Abschnitt daran machen, zu zeigen, daß es mathematische Aussagen und Definitionen gibt, die in zentraler Hinsicht auf bestimmten Metaphern beruhen.
Math as a Human Enterprise
Die reellen Zahlen und der Grenzwertbegriff bei Zahlenfolgen sind für die Analysis basale Konzepte. Sollten sie auf kognitiven Metaphern als reinen Konstrukten des Geistes beruhen, wäre das ein guter Grund, zu glauben, daß große Teile der Analysis weit davon entfernt sind, von zeitlosen und universell gültigen Strukturen zu handeln, die für alle Spezies des Universums gleichermaßen gültig und epistemisch zugänglich sind: Platonismus in der Mathematik wäre eine ziemlich unattraktive Option.
Die zur Einführung der reellen Zahlen nötigen Axiome an dieser Stelle zu notieren, wäre weitschweifig. Stattdessen erinnern wir lediglich daran, daß die Menge R der reellen Zahlen eine Menge mit algebraischer Struktur, ein Körper, ist, der eine Ordnungsstruktur hat: R ist ein unter Multiplikation und Addition abgeschlossener, archimedisch angeordneter Körper. Wer möchte, kann diese Definitionen nachschlagen. Wichtig sind sie für das Folgende nicht. Es genügt, sich klarzumachen, daß R aus allen Brüchen n/m mit n,m ∈ N, den rationalen Zahlen, und den irrationalen Zahlen besteht, die entweder Nullstellen eines Polynoms mit rationalen Koeffizienten sind oder nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung dargestellt werden können. N bezeichnet die Menge natürlicher Zahlen. Was an R im Folgenden allein interessiert, ist seine topologische Struktur, das Axiom der Vollständigkeit:
- (1) Jede nach oben (nach unten) beschränkte, nicht leere Teilmenge M ⊂ R hat eine kleinste obere (größte untere) Schranke.
Wir sagen, daß M eine obere (untere) Schranke a hat genau dann, wenn für alle Elemente x ∈ M gilt: x < a (x > a) und a ∉ M. (1) markiert den einzigen Unterschied zur der Menge Q der rationalen Zahlen. Salopp formuliert: Es ist (1), das eine Zahl zu einer reellen Zahl macht.
Doch was trägt (1) in Bezug auf Metaphern aus? In (1) wird demonstriert, daß nicht in allen Fällen die gesamte, für das Verständnis wesentliche, mathematische Intuition zu formalen Ausdrücken geronnen ist:
- (A) Denn die mathematische Intuition hinter (1) wird dadurch ausbuchstabiert, daß man sich den Spezialfall vorstellt, ein Intervall auf dem Zahlenstrahl zu halbieren, das halbierte Intervall wieder zu halbieren, und so weiter. Die am weitesten rechts bzw. links liegende Intervallgrenze ist die gesuchte Schranke. Doch (1) sagt nichts über das "und so weiter" aus: Das gleichförmige, nicht-abbrechende Wiederholen ist nicht formalisiert und man muß es sich dazu denken. Nun ist es eine bekannte Tatsache, daß (1) äquivalent ist zu dem sog. Intervallschachtelungsprinzip. Nach ihm gibt es zu jeder Intervall- schachtelung in R genau eine reelle Zahl, die in allen ineinander liegenden Intervallen enthalten ist. Doch im Intervallschachtelungs- prinzip wird das "und so weiter" nicht thematisiert: Von der Tatsache, daß ein nicht abbrechend wiederholtes, gleichförmiges Aufteilen eines ausgedehnten Intervalls irgendwann zu einem Intervall der Länge 0 schrumpft, ist nirgendwo die Rede und man muß es sich wieder dazudenken. Das Gleiche gilt von der Intuition, daß ein Intervall der Länge 0 auf dem Zahlenstrahl kaum etwas anderes sein kann als ein Punkt, eine reelle Zahl.
Der Witz ist: Was in (A) steht, mag einleuchten. Aber formal fixiert ist es nicht in (1) und auch sonst nirgendwo. Vielmehr wird an geometrische, aus der täglichen Anschauung stammende Intuitionen beim Verständnis der Vollständigkeit appelliert, d.h. (1) leuchtet nicht deshalb ein, weil hier Schlüsse über mathematische Objekte, wie z.B. Zahlen oder Punkte gewissen Standards der deduktiven Korrektheit genügen, sondern weil wir im Umgang mit der endlichen Ausdehnung der physischen Welt bereits vor aller Mathematik über ein Verständnis des teilbaren physikalischen Raumes verfügen. Und auch das "Abbrechen von Wiederholungen" in (A) ist eine Metapher des Zeitlichen, ohne deren Verständlichkeit (A) nur Gebrabbel wäre.
Notieren wir in einem zweiten Schritt den üblichen Grenzwertbegriff:
- (2) Sei a1, a2, a3,.... eine Folge reeller Zahlen und |x| bezeichne den Betrag von x ∈ R. Wir sagen, daß diese Folge gegen den Grenzwert a konvergiert genau dann, wenn es für jede reelle Zahl ε > 0 einen Folgenindex N(ε) ∈ N gibt derart, daß | an- a | < ε für jeden Folgenindex n mit n ≥ N(ε).
Doch was hat (2) mit Metaphern zu tun? In (2) wird demonstriert, daß es Metaphern aus dem Bereich der sinnlichen Erfahrung gibt, die von der Mathematik übernommen und formalisiert wurden. Als Beispiel stellen wir uns eine Folge (an) reeller Zahlen vor, die bei a1=1 beginnt und durch an=1/n gebildet wird. Wegen (1) wissen wir, daß eine größte untere Schranke der durch die Folgenglieder gebildeten Menge und wegen an=1/n i.S.v. (2) sogar der Grenzwert von (an) existiert: a=0.
- (B) Worauf (2) hinaus will, ist, daß man mit Hilfe des Laufindex n die Folgenglieder von (an) für einen vorgegebenen Wert von ε durchläuft und | an- a | < ε nachprüft für alle n ≥ N(ε). Aber natürlich kann man das wegen n ∈ N nicht tun, weil das unendlich viele Prüfungen wären - und zwar für jeden möglichen Wert von ε unendlich viele (was dann eventuell etwas länger dauert). Stattdessen sieht man ein, daß a=0 ist, weil (2) formalisiert, was wir aus unserer Erfahrung mit der Manipulation makroskopischer, physischer Gegenstände kennen: Was immer wir tun, hat unabhängig von dessen Zeitpunkt dasselbe zur Folge und ohne Grund passiert eben auch nichts. Wir werden dies im Folgenden als Gleichförmigkeit bezeichnen.
Nicht z.B. die formale Strenge unserer Gedanken oder unsere Genauigkeit im procedere erlauben es uns daher, einzusehen, daß a=0 ist, sondern wir rechtfertigen die Aussage a=0, weil wir den Effekt einer Regel an=1/n auf a1=1 vorhersagen nach dem Vorbild einer endlichen Welt physischer Gegenstände, mit denen wir Erfahrungen in Sachen Gleichförmigkeit bereits gesammelt haben. Daß diese Gleichförmigkeit täuscht und z.B. in der Quantenwelt alles sehr viel komplizierter ist, spielt hierfür keine Rolle. Entscheidend ist, daß die Intuition der gleichförmigen Wiederholung genau das ist, was in (2) formalisiert wurde und auch intuitiv aussagt - nur eben für mathematische Objekte aus einer Menge, für die ein Abstandsbegriff in Form der Betragsfunktion erklärt ist. Und natürlich ist klar, daß die Rede von der Gleichförmigkeit, die wir in der Welt physischer Gegenstände tagtäglich zu erleben scheinen, ebenfalls eine Metapher ist, deren Verständlichkeit unabhängig von aller Mathematik für (B) bereits vorausgesetzt wird.
The Myth of Math Metaphorically Mirrored
Nehmen wir einmal an, daß diese Analysen von Grenzwertbegriff und Definition der reellen Zahlen richtig sind. Dann haben wir in den voran- gegangenen Absätzen an zwei Beispielen demonstriert, daß Metaphern der sinnlichen Erfahrung in der Bedeutung und Erklärung elementarer mathematischer Aussagen und Definitionen in nicht eliminierbarer Weise enthalten sind: Einige recht basale mathematische Aussagen wie z.B. in (1) und auch andere Theoreme, formuliert in Termen von (2), verhalten sich dem Verständnis nach parasitär zu den konzeptualisierten, sinnlichen Erfahrungen, die wir machen, wenn wir lernen, uns in unserer endlichen, bürgerlichen Welt der Kaffeetassen, Treppen und Apfelbäume zu bewegen. Sind diese Metaphern zusätzlich kognitiv, dann gibt es einen Grund für die These, daß alle auf diese Weise axiomatisch erzeugten mathematischen Objekte inklusive ihrer Eigenschaften nicht etwa einem nach und nach zu entdeckenden Reich des Logischen angehören, wie Platonisten dies behaupten könnten.
Stattdessen wären sie nichts anderes als Produkte des menschlichen Geistes, eingebettet in das vormathematische Verständnis unserer sinnlichen Erfahrungen der physischen Welt. Und ich würde mich sehr wundern, wenn es nicht noch sehr viel mehr Beispiele mathematischer Begriffe geben würde, die wie in (A) bzw. (B) zu analysieren sind. Solange wir daher keinen Grund haben, zu glauben, daß allein die menschlichen Erfahrungen die wahre Natur des Universums offenbaren und wir auch nichts über Spezies in fernen Galaxien und deren Erfahrungen oder Wahrnehmungen ihrer Lebenswelt wissen, gäbe es nicht den mindesten Grund, einen platonischen Standpunkt in der Mathematik für attraktiv zu halten: Mathematik wäre spannend, aber von einer Romantik i.S.d. des Platonismus gäbe es keine Spur. Denn die Mathematik irgendwelcher aliens, Lichtjahre von uns entfernt, könnte völlig anders aussehen.
Unser Ergebnis ist daher ein Konditionalsatz: Schon wenn eine geeignete Variante der kognitiven Metapherntheorie für die in der Mathematik nachweisbaren Metaphern richtig ist, dann ist nicht nur der Platonismus in der Mathematik höchst unglaubwürdig, sondern auch die Mathematik selbst ist eine ganz normale, von Menschen gemachte Wissenschaft, die weder einen besonderen Status hat noch von etwas Besonderem handelt oder in anderer Weise privilegiert und elitär wäre. Und genau dieser sehr viel bescheidenere Standpunkt war mit der angekündigten, naturalistischen Arznei für unsere ontologischen und epistemischen Bauchschmerzen zu Beginn dieses Artikels gemeint. Doch welchen charakteristischen Unterschied macht ein naturalistischer Standpunkt in Sachen Mathematik?
Mutinies - Math From A Naturalistic Point of View
Einem naturalistischen Mathematiker würde sich z.B. ein unverkrampfter Blick auf die immer stärker Fahrt aufnehmende Mathematisierung der Lebenswissenschaften bieten: Es ist - anders als Kant vermutete - nicht plötzlich mehr Wissenschaftlichkeit oder gar Realismus z.B. in der Biologie enthalten nur deshalb, weil sie begonnen hat, sich mathematischer Methoden zu bedienen. Wer daher die in diesem Artikel gegebenen Erklärungen mitmacht, der kann ein Wissenschaftsverständnis vertreten, nach dem eine Mathematisierung aller akademischen Disziplinen zu fordern, schlicht übertrieben ist und die wissenschaftshistorische These, daß mathematische Methoden von einigen akademischen Disziplinen erst relativ spät nach ihrer Entstehung als Hilfsmittel eingesetzt wurden, höchstens noch für strenggläubige Platonisten in Sachen Mathematik einen epistemologischen oder gar ontologischen Geschmack a priori hat. Mathematische Methoden einzusetzen, muß stattdessen nützlich sein entweder für das Erzeugen von Prognosen oder Erklärungen für uns interessierende Phänomene oder für deren Rechtfertigung - alles andere ist irrelevant.
Heilsam könnte unsere naturalistische Arznei auch für das begriffliche Rätsel der Eignung der Mathematik für die Beschreibung der Vorgänge und Ereignisse in der Natur sein: Insofern Mathematik unser intuitives und metapherngeleitetes Verständnis unserer sinnlichen Erfahrungen formalisiert, konzeptualisiert sie in quantifizierbarer Weise diejenigen Phänomene, die wir zu erklären wünschen, so daß wir ein und dasselbe conceptual framework der Naturbeschreibung nicht dadurch verlassen, daß wir beginnen, Mathematik zu treiben: Unser Rätsel könnte einfach nur ein Scheinproblem sein, daß unter naturalistischer Betrachtung verschwindet.
Es ist klar, daß Platonisten dieser move unmöglich ist. Aber natürlich ist diese Ockham'sche Art von Kosten-Nutzen-Abwägung bei philosophischen Bauchschmerzen allein noch kein Argument, sondern bestenfalls ein Vorschlag, wie man mit modernen philosophischen Mitteln ein altes begriffliches Rätsel auf interessante Weise angehen könnte, anstatt angestaubte Vorurteile aus versunkenen Zeiten metaphysischer Spekulation wiederzukäuen. Für Mathematik gilt nach dem bisher Gesagten nichts anderes und Hilbert brachte es mal in für Mathematiker typischer Radikalität so auf den Punkt:
Wir müssen wissen.
Wir werden wissen.
(David Hilbert)
Literature:
[1] Realism, Mathematics & Modality, H. Field (1989)
[2] Analysis, K. Königsberger (2009)
[3] Metaphor: A Practical Introduction, Z. Kövecses (2002)
[4] Philosophy in The Flesh, G. Lakoff & M. Johnson (1999)
[5] Where Mathematics Comes From, G. Lakoff & R. Nunez (2000)
[6] Naturalism in Mathematics, P. Maddy (1997)
[7] Thinking about Mathematics, S. Shapiro (2000)
Ähnliche Artikel:
Oh Wunder!
Kann es sein, dass wir uns EINIG sind? Zumindest in der Ablehung dessen, was Du "Platonismus" nennst, ich aber die die "Eigentlichkeit"?
Was anderes:
Mir will scheinen, dass wir den Begriff der "Metapher" in (leicht) voneinander abweichenden Sinnen verwenden. Ich bezieh' mich auf meine Rhetorik-Lektüre, und dort sind die Tropen, deren eine die Metapher ist, wirklich nur einzelne Worte, keine formalen Urteile mit Subjekt, Prädikat und Objekt.
"Heinrich ist ein Löwe" ist also in disem Sinne keine Metapher, sondern ein Gleichnis. Im Satz "Der Welfe ist ein Löwe" wäre der "Welfe" eine Trope, eine Antonomasie.
"Zumindest in der Ablehung dessen, was Du Platonismus nennst, ich aber die die Eigentlichkeit?"
Auf den ersten Blick schon - aber nur in diesem Punkt. ;-) Ich habe aber deinen Artikel noch nicht mit ausreichender Hingabe durchgeackert, so daß ich mich im Moment inhaltlich noch zurückhalten möchte.
Ich werde wohl auch erst am Dienstag dazu kommen, selbst zu kommentieren: Heute abend ist Science Slam in Berlin und ich trage vor. Andreas Müller (LMU München) vom "Einsteins Kosmos"-blog ist außerdem mein Gast - er trägt auch vor - und wir werden wohl heute Nacht noch den hypertrophen Zustand der Ethanol-Sättigung erreichen - vor morgen geht da gar nichts mehr. ;-)
Ich hoffe, du bist nicht böse.
Viel Erfolg beim Slam und einen schönen Abend!
Helmut
"Ich bezieh' mich auf meine Rhetorik-Lektüre, und dort sind die Tropen, deren eine die Metapher ist, wirklich nur einzelne Worte, keine formalen Urteile mit Subjekt, Prädikat und Objekt."
Mag sein, daß die Gewohnheiten in dieser Ecke der Literatur so sind. Aber wird dort nicht nur ein Spezialfall behandelt? Die Wendung "das Eis brechen" scheint mir nicht weniger metaphorisch zu sein, als "ebenholzhäutig". In diesem Sinne - und wir sollten ja versuchen, den Gegenstand der Untersuchung unabhängig von allen Theorien der Phänomene festzulegen - sind beides Metaphern. Was könnte dagegen sprechen?
"Heinrich ist ein Löwe" ist eine eine Metapher und "Heinrich ist wie ein Löwe" ein Vergleich. Ich hab noch nicht verstanden, wofür du die noch feineren Unterschiede benutzen möchtest.
Wenn ich deinen Artikel richtig verstanden habe, dann ist die Umgangssprache toller, spannender, irgendwie farbiger, kreativer. Aber nach meiner Meinung setzen sich hier die Mißverständnisse über Mathe fort.
Dürfte ich meinen post in einem saloppen Satz zusammenfassen, dann würde ich formulieren, daß Mathematik insofern sie auf via Metaphern konzeptualisierter Erfahrung beruht, eine (wenn auch formalisierte) Sprache der menschlichen Sinne ist.
Damit wird der Unterschied der naturalistischen Position zum Platonismus und z.B. auch zu Kants Auffassung von Mathematik, gut deutlich.
In diesem Sinne ist Mathematik ein winziger Ausschnitt aus der Sprache, nämlich die Menge der extensionalen und wahrheitsfunktionalen Aussagen, die entweder wahr oder falsch sind. Trivialerweise kann sie damit gegen die komplette Umgangssprache in Sachen Vielfältigkeit (man kann mit Sprache beten, singen, versprechen, bitten, beleidigen, reimen etc.) nicht antreten - was meiner Meinung nach aber auch kein Mangel ist. Denn Mathe dient einem hochspezialisierten Zweck und wenn man kreativ genug ist, dann leistet dieses tool gerade wegen der Formalisierung, d.h. der rigiden Syntaxkontrolle Erstaunliches. "toll", "spannend", "farbig", "kreativer" - all das muß es auch in der Mathematik geben, gerade weil sie eine Sprache der menschlichen Sinne ist - man muß aber eben auch verstehen, was da passiert. Und Beileidsbekundungen sind an dieser Stelle einfach ungerecht.
Ansonsten vertrittst du deine riskante ontologische Position:
"Weil ich glaube, dass Uneigentlichkeit und Doppeldeutigkeit nicht nur Wesensmerkmale der Tropen, sondern der Wirklichkeit selbst sind."
So einen Standpunkt zu diskutieren, kann spannend sein, aber er müßte begründet werden. Und der Aufklärer in mir würde es nicht so gut finden, wenn du diesen Punkt wohlig-gefühlig einfach mal auf sich beruhen lassen würdest.
Auch was analytische Philosophie angeht, sind wir noch recht weit auseinander. Analytisch ist Philosophie sicher dann, wenn sie sprachkritisch ist. Das kann man mit formalen Mitteln betreiben, aber notwendig ist es nicht. Analytiker in diesem Sinne z.B. würden dir entgegen halten, daß deine Rede von Uneigentlichkeit eine ganz unmotivierte und nicht durch eine Theorie einlösbare Metapher ist. Schließlich hast du einfach das Kontrastwort "eigentlich" negiert und substantiviert. Ob der durch diese Syntaxoperationen entstandene Ausdruck noch irgendwie Sinn macht, unterliegt aber keiner Kontrolle - womit die Pointe deines Artikels auf der Kippe steht: Man müßte vielleicht noch nachbessern.
Tut mir leid, daß ich einen so drastischen Kommentar schreibe, aber wer einen Nerd herablassend behandelt, der muß damit rechnen, daß der Nerd einsetzt, was ihn zum Nerd macht: Expertise.
» Wenn aber die in der Mathematik präsenten Metaphern Konstrukte des Geistes sind, dann kann die auf ihnen beruhende Mathematik unmöglich entdeckt, sondern sie muß - anders als die kausalen Abhängigkeiten in der Natur - von uns erfunden werden. «
Kapier ich nicht. Aber sicher haben Sie Recht. Könnten Sie versuchen, das noch einmal kurz für Nicht-Nerds zu erklären und zu begründen? Wäre riesig nett, und Danke im Voraus!
"Erfunden" werden in meinen Augen Märchen oder Si-Fi-Stories. "Gefunden" oder entdeckt werden quantitative oder andere Beziehungen in der Natur oder im Zahlenraum. Metaphern werden im Übrigen auch gefunden. Wären sie nicht bereits vor dem Finden da, würde sie keiner verstehen.
Ich tippe eher darauf, dass es eine allgemeine Gültigkeit der Mathematik gibt, dass sie nicht erfunden ist und zwar, weil sie es ermöglicht, die Physik der Welt derart gut zu beschreiben, dass genaue Modellierungen der Realität möglich werden. Soll doch erst mal jemand eine alternativer Beschreibungen liefern, die der mathematischen Physik widersprechen und trotzdem die Realität ähnlich gut beschreiben.
"Erfinden vs Entdecken" ist der in der Philosophie der Mathematik gängige Slogan, um den Streit um den Platonismus in der Mathematik zu bezeichnen.
"Könnten Sie versuchen, das noch einmal kurz für Nicht-Nerds zu erklären und zu begründen?"
Stellen Sie sich vor, die Menschheit hätte sich aus einen dummen Zufall vor Jahrmillionen gar nicht erst entwickelt. Dann ist es sicher wahr, daß z.B. die Himmelsmechanik genauso funktionieren würde und sie könnten von einer anderen Spezies ebenso entdeckt werden, wie wir es getan haben. Doch ob sich das mit mathematischen Aussagen auch so verhält, ist gerade die Frage, denn es wäre möglich, daß sie in derselben Weise ausgedacht wird, wie wir uns Gebrauchsgegenstände des Alltags ausdenken, die uns das Leben einfacher machen.
"Gefunden oder entdeckt werden quantitative oder andere Beziehungen in der Natur oder im Zahlenraum."
Offenbar vertreten Sie die von mir als Platonismus bezeichnete Position.
"Metaphern werden im Übrigen auch gefunden. Wären sie nicht bereits vor dem Finden da, würde sie keiner verstehen."
Leider muß ich auch dem widersprechen: Die moderne Semantik ist da längst weiter. Aber das zu begründen, würde einen eigenen post bedeuten - eine gute Anregung! :-)
Wenn Sie aber einmal ohne meine Kommentare oder posts in dieser Richtung weiterlesen wollen, so empfehle ich das Buch
Introduction to Linguistic Philosophy von I. E. Mackenzie
Es ist gut lesbar und zeigt einen recht aktuellen Stand.
"Ich tippe eher darauf, dass es eine allgemeine Gültigkeit der Mathematik gibt, dass sie nicht erfunden ist und zwar, weil sie es ermöglicht, die Physik der Welt derart gut zu beschreiben, dass genaue Modellierungen der Realität möglich werden."
Es ist gerade diese Position, der ich mit meinem post die Glaubwürdigkeit entziehen möchte.
"Soll doch erst mal jemand eine alternativer Beschreibungen liefern, die der mathematischen Physik widersprechen und trotzdem die Realität ähnlich gut beschreiben."
Der Haken ist, daß wir keine Ahnung davon haben, wie gut wir die unabhängig von uns existierende Realität mit der bereits existierenden Physik wirklich beschreiben. Insofern macht Ihr Argument wenig Sinn.
"Tut mir leid, daß ich einen so drastischen Kommentar schreibe, aber wer einen Nerd herablassend behandelt, der muß damit rechnen, daß der Nerd einsetzt, was ihn zum Nerd macht: Expertise."
Elmar,
bevor es inhaltlich weitergeht, etwas rein rein Formales - an welcher (aktuellen) Stelle hab' ich Dich "herablassend" behandelt? Für die Veräppelung der logischen Notation, die ich vor einem halben Jahr beging, habe ich mich schon lange entschuldigt, und in dem was ich aktuell schrieb, erkenne und beabsichtigte ich keine Herablassung.
Es geht präzise um folgende Passage in deinem Text:
"Was mir zu einer wütenden Verteidigung der Trope gegen das schaurigen mathematischen Drachen geraten sollte - ihr Perseus wollt' ich sein, und sie mir meine Andromeda - wird mir nun eher zur Beileidsbekundung für das Untier geraten, das sich der Trope unterwerfen muss."
Meine Position war und ist, daß die akademischen Disziplinen gleichberechtigt sind, gerade weil sie verschiedene Ziele verfolgen. Gelegentlich helfen sie einander. Warum du da "vertikale Aspekte" hineinbringst - keine Ahnung.
Aber Typen wie ich haben es satt, dafür, daß sie können, was andere nicht können, irgendwie abschätzig behandelt zu werden.
Da bin ich ganz empfindlich. Kommt gleich nach femininer Selbstüberschätzung.
"Für die Veräppelung der logischen Notation, die ich vor einem halben Jahr beging, habe ich mich schon lange entschuldigt"
Das ist selbstverständlich längst erledigt und vergessen.
"Es geht präzise um folgende Passage in deinem Text:
"Was mir zu einer wütenden Verteidigung der Trope gegen das schaurigen mathematischen Drachen geraten sollte - ihr Perseus wollt' ich sein, und sie mir meine Andromeda - wird mir nun eher zur Beileidsbekundung für das Untier geraten, das sich der Trope unterwerfen muss."
Seufzer.
Du hast Doch, wenn ich Deinen Aufsatz recht verstanden habe, selbst geschrieben, dass die Mathematik auf Fundamenten ruht, die "metaphorisch" sind. Dreh' das Bild um, mach aus der Mathematik die lichtdurchflutete Kathedrale und aus der Trope das Fundament, die unter der Last ächzt, was weiss ich ...
"Herablassung" geht meiner Ansicht nach anders. Und was das nun soll:
"Aber Typen wie ich haben es satt, dafür, daß sie können, was andere nicht können, irgendwie abschätzig behandelt zu werden."
versteh' ich ganz und gar nicht, nachdem ich Dich in eienm Absatz meines OP sogar ausdrücklich zu den "klugen und beschlagenen" Leuten gerechnet habe. Bitte: zieh' Dir ein etwas dickeres Fell an, sonst hälst Du gar noch Streicheleinheiten für Nadelstiche.
"Bitte: zieh' Dir ein etwas dickeres Fell an, sonst hälst Du gar noch Streicheleinheiten für Nadelstiche."
Unwahrscheinlich. Aber wir können diese Sache damit meinetwegen gut sein lassen. :-)
» Offenbar vertreten sie die von mir als Platonismus bezeichnete Position. «
Vielleicht. Ich denke, dass die Rechenfähigkeit schlicht ein biologisches Merkmal unserer Spezies ist, welches sich in der Interaktion mit der Umwelt entwickelt hat. Offenbar gibt es da draußen etwas, das wir (auch) mit der Sprache der Mathematik beschreiben und darstellen können. Wie zum Beispiel das konstante Verhältnis von Kreisdurchmesser zum Kreisumfang. Wenn das bereits Platonismus in Ihrem Sinne ist, nun gut, dann bin ich halt Platonist.
Darüber hinaus scheint es aber auch intern, also in Hirnstrukturen selbst, etwas zu geben, dem wir uns mittels der mathematischen Sprache nähern können (sozusagen Mathematik als Selbstzweck).
Es wäre schön, wenn Sie das näher erläutern könnten:
"Offenbar gibt es da draußen etwas, das wir (auch) mit der Sprache der Mathematik beschreiben und darstellen können."
So offenbar finde ich das gar nicht. Was motiviert Sie zu dieser These?
"Darüber hinaus scheint es aber auch intern, also in Hirnstrukturen selbst, etwas zu geben, dem wir uns mittels der mathematischen Sprache nähern können (sozusagen Mathematik als Selbstzweck)."
Auch diesen Anschein kann ich - wenigstens bei mir selbst - nicht finden. Könnten Sie das noch etwas näher ausführen?
Der Haken ist, daß wir keine Ahnung davon haben, wie gut wir die unabhängig von uns existierende Realität mit der bereits existierenden Physik wirklich beschreiben. Insofern macht Ihr Argument wenig Sinn.
Derartige Fragen stellten sich die Höhlenbewohner wohl nicht.
Aber andere : Drei Bären gehen in eine Höhle, zwei kommen wieder raus. Ist es vernünftig, in die Höhle reinzugehen ?
Ob die Mathematik nun die Realität beschreibt oder nicht, es ist manchmal zumindest vernünftig, dies anzunehmen. Der Rest ist für die Philosophen.
Was es da draußen gibt? Dinge, die wir zählen können, Mengen, die geteilt werden können. Damit fing wohl alles an, auch wenn das noch keine große Mathematik ist bzw. war. Später musste die Erde vermessen werden (Geometrie) und so fort, Sie wissen das alles sicher besser als ich :-)
Im Übrigen würden sich auf einem anderen Planeten für andere intelligente Spezies unter den vergleichbaren Bedingungen die gleichen Probleme stellen. Schwer vorstellbar, dass eine Intelligenz zählbare Dinge und periodisch wiederkehrende Ereignisse ignorieren würde. Die Sprache der Mathematik wäre vielleicht oder vermutlich einen andere, aber sie müsste doch zu den gleichen Ergebnissen führen.
Nachdem das menschliche Hirn nun mal rechen- und sprachfähige Strukturen entwickelt hat, begnügt es sich nicht mit der Berechnung der Welt, sondern forscht innerhalb dieser Strukturen nach neuen Beziehungen, Zusammenhängen, Verknüpfungen und so fort, kurz, nach neuen mathematischen Erkenntnissen. Die meiste Zeit beschäftigt sich das Gehirn ohnehin mit sich selber. Haben Sie als Mathematiker nicht öfter das Gefühl, das Ihr Hirn auch ohne Ihr Bewusstsein mathematische Probleme bearbeiten kann?
"Dinge, die wir zählen können, Mengen, die geteilt werden können. Damit fing wohl alles an,"
Mag sein, aber damit ist noch keineswegs klar, wie die story der Mathematikentwicklung weitergeht oder gar ausgeht. Und darauf kommt es an.
"Die Sprache der Mathematik wäre vielleicht oder vermutlich einen andere, aber sie müsste doch zu den gleichen Ergebnissen führen."
Mathematik ist ja nicht wirklich eine Sache des Zählens. Selbst wenn andere Spezies diese Interessen mit uns teilen, ist das kein Grund zu vermuten, daß sie z.B. auch eine Vorstellung von Linearität haben. Und das würde eine Menge in der Mathematik ändern.
"Haben Sie als Mathematiker nicht öfter das Gefühl, das Ihr Hirn auch ohne Ihr Bewusstsein mathematische Probleme bearbeiten kann?"
Immer. Der Haken ist: Was immer ich unter diesen Bedingungen auch produziere, es ist falsch. ;-)
Selbst wenn die Vorstellung von Linearität nicht auf Naturbeobachtungen beruht, sondern allein aus der "geistigen" Innenwelt stammt, dann bestehen dennoch gute Chancen, dass die Hirne der Aliens, die ja unter ähnlichen Bedingungen evolviert sein sollen wie unsere (das hatten wir vorausgesetzt), ebenfalls eine Vorstellung von Linearität entwickeln. Aber genauso gut könnten sie auch unfähig sein, höhere Mathematik zu treiben, so wie die Mehrzahl der Menschen auch. Die funktionale Struktur des Hirns korreliert vermutlich mit der Art der Mathematik, die betrieben werden kann.
Lieber Elmar, vorweg: Dein Beitrag ist für mich persönlich sehr bereichernd. Er lohnt, gelesen zu werden.
Die Frage, ob die Mathematik erfindet oder entdeckt, kann man offenbar trefflich diskutieren. Aber wie bedeutend ist sie für unser Thema? Wiederholt sich da nicht ein allgemeiner Disput am Beispiel der Mathematik? Wollen wir hier den gesamten Idealismus durchdeklinieren? Das ist mir zu gefahrvoll bei diesem Gewitter, in dem man wohl schnell vom platonischen Blitz getroffen werden kann.
Nein, wir sollten die Mathematik diskutieren hinsichtlich der Verfassung, in der sie sich derzeit präsentiert und in der sie offensichtlich von vielen nicht verstanden oder falsch eingeschätzt oder schlicht ignoriert wird. Es geht um die Mathematik, die in unser aller Leben eingreift. Das ist nicht die ganze Mathematik und schon gar nicht die ganze denkbare.
So, wie „die Mathematik irgendwelcher aliens, Lichtjahre von uns entfernt, völlig anders aussehen könnte“ (da gebe ich Elmar Recht), könnte aber auch die Mathematik des Homo sapiens eine völlig andere sein. Dass sie so ist, wie sie ist, liegt doch primär in ihrer Verankerung in den gesellschaftlichen und ökonomischen Prozessen. Man unterschätze den evolutionären Prozess nicht, der auch die Mathematik bedingt. Insofern ist sie ganz von dieser Welt.
Euklids „Elemente“ haben Bestand, weil man mit ihnen empirische Erfolge erzielen kann. Und die vielen Euklids der Geschichte haben vermutlich ganz konkrete, dünne (sehr dünne) und gerade (sehr gerade) Striche vor Augen gehabt, als sie Axiome über zwei Geraden, die sich in genau einem Punkt schneiden oder parallel sind, zu Papier gebracht haben. Ist das, lieber Elmar, ein einfacheres Beispiel als dein (A) und dein (B)?
Heute und historisch rückschauend kann man leicht die euklidischen Geraden und Punkte von ihren metaphorischen Eigenschaft entkleiden, indem man eine Inzidenzstruktur auf zwei beliebig abstrakte Mengen prägt, die die gleichen Ergebnisse wie die Euklidische Geometrie erbringt. (Je zwei Elemente der Menge A inzidieren genau mit einem Element der Menge B, es sei denn, sie sind „waballel“, und zu je zwei Elementen der Menge B gibt es genau ein Element der Menge A, das mit beiden inzidiert). Wird damit die Mathemtik mehr oder weniger platonisch? Man kann sich (so man Freude daran hat) aber auch Inzidenstrukturen ausdenken, die nichts Äquivalentes zur euklidischen Geometrie ergeben, sondern irgendwas, das weder Physiker noch Biologen gebrauchen können. Das ist dann auch Mathematik (meine Großmutter hätte das allerdings Hirngespinste genannt). Ob man die irgendwann gebrauchen kann, überlasse ich gerne dem Zufall als eine der evolutionären Größen.
"Die funktionale Struktur des Hirns korreliert vermutlich mit der Art der Mathematik, die betrieben werden kann."
Das ist natürlich schon sehr spekulativ. Ich wüßte auf Anhieb gar nicht, wenn ich in dieser Sache um Rat fragen könnte.
"Aber wie bedeutend ist sie für unser Thema?"
Nun ja - eigentlich ist das doch einer der zentralen Aspekte: Mathe und Wirklichkeit.
"Wollen wir hier den gesamten Idealismus durchdeklinieren?"
Nein, das möchte ich auch nicht. Aber mit der in meinem Artikel skizzierten Perspektive ist diese Frage ja auch außen vor: Den "Status" des menschlichen Geistes kann man getrost an anderer Stelle klären.
"Nein, wir sollten die Mathematik diskutieren hinsichtlich der Verfassung, in der sie sich derzeit präsentiert und in der sie offensichtlich von vielen nicht verstanden oder falsch eingeschätzt oder schlicht ignoriert wird."
Ich stimme zu, daß das auf jeden Fall eine wichtige Sache ist.
"könnte aber auch die Mathematik des Homo sapiens eine völlig andere sein."
Natürlich.
"Dass sie so ist, wie sie ist, liegt doch primär in ihrer Verankerung in den gesellschaftlichen und ökonomischen Prozessen."
Du hast völlig recht: Viele Entwicklungen z.B. sind durch Physiker angestoßen worden, deren "formale Bedürfnisse" auf die Mathematik sehr innovativ gewirkt haben.
"Man unterschätze den evolutionären Prozess nicht, der auch die Mathematik bedingt."
Meinst du hier die biologische Evolution?
"Ist das, lieber Elmar, ein einfacheres Beispiel als dein (A) und dein (B)?"
Ich möchte mich zu so später Stunde nicht endgültig festlegen, aber im Moment scheint mir, daß du recht hast.
"Wird damit die Mathemtik mehr oder weniger platonisch?"
Das sind Behauptungen ohne alle ontologischen Verpflichtungen. Insofern ist man von Platonismusvorwürfen geschützt.
"Man kann sich (so man Freude daran hat) aber auch Inzidenstrukturen ausdenken, die nichts Äquivalentes zur euklidischen Geometrie ergeben, sondern irgendwas, das weder Physiker noch Biologen gebrauchen können."
Natürlich, dagegen ist auch nichts einzuwenden. Aber wie du schon in deinem Artikel hervorgehoben hast - es geht dann allein um Festsetzungen, sprachliche Bedeutungen und Wahrheitswerte, nicht aber um die Abbildung von Teilen der Realität oder die Realität selbst.
Ich bin mit dieser Einordnung der Fragen sehr einverstanden (ohne dass die für dieses Gewitter an den Rand gerutschten deshalbim Allgemeinen weniger wichtig würden).
Meine ich die biologische Evolution? Nein, ich meine das Prinzip Evolution, nach dem sich alles, was der Fall ist, entwickelt.
Meine Vermutung, dass die Konstruktion unseres Gehirns unsere mathematischen Fähigkeiten und damit auch die Mathematik als solche bestimmt, ist nach meinem Dafürhalten sehr viel weniger spekulativ als jene, dass die Mathematik des Homo sapiens auch eine völlig andere (1) sein könnte.
Da könnte ich mir schon eher vorstellen, dass unsere Farbwahrnehmung eine andere ist oder dass wir höherfrequente Luftdruckschwankungen anderes hören oder dass wir eine andere Grammatik verwenden.
(1) Vielleicht könnten Sie mal kurz skizzieren, wie eine "völlig andere Mathematik" aussehen könnte, damit ich nicht wie ein Blinder von der Farbe rede. So langsam beschleicht mich nämlich das Gefühl, dass hier nicht völlig andere mathematische Prinzipien gemeint sind (wie etwa 1+1=3 oder eine Mathematik ohne Zahlen), sondern lediglich eine andere mathematische Sprache.
"(1) Vielleicht könnten Sie mal kurz skizzieren, wie eine "völlig andere Mathematik" aussehen könnte, damit ich nicht wie ein Blinder von der Farbe rede. So langsam beschleicht mich nämlich das Gefühl, dass hier nicht völlig andere mathematische Prinzipien gemeint sind (wie etwa 1+1=3 oder eine Mathematik ohne Zahlen), sondern lediglich eine andere mathematische Sprache."
Wenn ich das mal so eben tun könnte, dann hätte ich wahrscheinlich bereits jeden Preis für Mathematiker abgeräumt, den es gibt. Leider bin ich nicht so gut.
Aber Sie müssen vorstellen, daß für aliens grundlegende Konzepte wie Teilbarkeit des Raumes, die Wahrnehmung der Geometrie des Raumes oder Vorstellungen des Zeitablaufes anders sein könnten - das würde sicher eine andere Mathematik erzwingen, weil Grenzwertgebriff oder Linearität so nicht zur Verfügung stehen würden.
Es ist in meinem Artikel nicht nur gemeint, daß wir z.B. keine Finanzmathematik erfunden hätten, sondern aliens könnten eine Mathematik haben, die uns nicht nur intuitiv nicht einleuchten würde, sondern die wir als absurd ansehen müßten - müßten, nicht würden!
» Aber Sie müssen vorstellen, daß für aliens grundlegende Konzepte wie Teilbarkeit des Raumes, die Wahrnehmung der Geometrie des Raumes oder Vorstellungen des Zeitablaufes anders sein könnten - das würde sicher eine andere Mathematik erzwingen, weil Grenzwertgebriff oder Linearität so nicht zur Verfügung stehen würden. «
Dann hätten die Aliens in der Tat eine fundamental andere Evolution durchlaufen (was wohl nur in einer völlig anderen Welt möglich wäre). "Andere Geometrie des Raumes": Das erinnert an den Scheinriesen in "Jim Knopf und Lukas, der Lokomotivführer". Und es bestätigt im Grunde, was ich gesagt habe: Es hängt von unserem Gehirn, von unserer Wahrnehmung ab, welche Mathematik wir können.
"Es hängt von unserem Gehirn, von unserer Wahrnehmung ab, welche Mathematik wir können."
Abhängigkeit suggeriert eine funktionalen Zusammenhang. Der evolutionären Biologie paßt das sicher gut in ihre Ideologie. Aber der Zusammenhang ist viel schwächer:
Es hängt von unserem Gehirn, von unserer Wahrnehmung ab, welche Mathematik wir nicht können - that's all.
» Abhängigkeit suggeriert eine funktionalen Zusammenhang. Der evolutionären Biologie paßt das sicher gut in ihre Ideologie. «
Die Biologen sind doch keine Interessengruppe.
Biologisches Denken ist naturbedingt sehr dem irdischen verhaftet. Da erscheint es nur plausibel, anzunehmen, dass auch die Mathematik eine rein irdische ist und organisch bedingte Grenzen hat, Erkenntnisgrenzen gewissermaßen. Homo sapiens ist gerade dabei zu erkunden, welche Mathematik er überhaupt können kann. Man könnte auch sagen: Er ist dabei, die (mathematischen) Möglichkeiten seines Gehirns auszuloten.
Wie ich anfangs schon sagte, die Felder der Mathematik werden entdeckt und gefunden, nicht erfunden.
.... schlampig.
"Die Biologen sind doch keine Interessengruppe."
Sie haben recht, das stimmt natürlich so nicht. Was ich hätte sagen müssen, war, daß mein Eindruck ist, daß traditionelle Biologen im Moment ziemlich von den anderen Naturwissenschaften und auch der Mathematik bedrängt werden, und Forschungsfelder an diese verlieren. Das einzige Gebiet - so mein Eindruck - wo das nicht so ist, ist die Evolutionstheorie. Und die wird deshalb stark propagiert.
Aber das gehört natürlich alles nicht hierher und ist vielleicht auch falsch. Bitte korrigieren Sie mich.
"Homo sapiens ist gerade dabei zu erkunden, welche Mathematik er überhaupt können kann. Man könnte auch sagen: Er ist dabei, die (mathematischen) Möglichkeiten seines Gehirns auszuloten."
Vom Standpunkt meines Artikels aus würde ich diese Aussage voll unterstützen.
» …mein Eindruck ist, daß traditionelle Biologen im Moment ziemlich von den anderen Naturwissenschaften und auch der Mathematik bedrängt werden, und Forschungsfelder an diese verlieren. Das einzige Gebiet - so mein Eindruck - wo das nicht so ist, ist die Evolutionstheorie. Und die wird deshalb stark propagiert.
Aber das gehört natürlich alles nicht hierher und ist vielleicht auch falsch. Bitte korrigieren Sie mich.«
Das kann ich nicht beurteilen. Sicher ist das öffentliche Interesse an evolutionsbiologischen oder verhaltensbiologischen Themen größer als beispielsweise an der Tierphysiologie oder Botanik. Aber ob sich deshalb traditionelle Biologen an den Rand gedrängt fühlen—keine Ahnung.
Ich kann auch nicht erkennen, dass die anderen Fächer die Biologie bedrängen. Ist möglicherweise eine Frage der Perspektive. Das Fach Biologie ist ja nach wie vor die Königsdisziplin unter den Naturwissenschaften. Andere Fächer wie Physik, Chemie und Mathematik dienen ihr als Hilfswissenschaften. Selbst die Kultur- und Geisteswissenschaften ruhen (naturbedingt) auf einem biotischen Fundament.
"Aber ob sich deshalb traditionelle Biologen an den Rand gedrängt fühlen—keine Ahnung."
Oh, ganz deutlich: An den Unis hat sich ein massives Machtgefällte unter den Fachbereichen entwickelt. In die Details möchte ich hier natürlich nicht gehen.
"Andere Fächer wie Physik, Chemie und Mathematik dienen ihr als Hilfswissenschaften."
Ups .... wie kommen Sie denn darauf?
"Selbst die Kultur- und Geisteswissenschaften ruhen (naturbedingt) auf einem biotischen Fundament."
Behalten Sie diese steile These in Erinnerung. Wir kommen bestimmt noch mal auf sie zurück.
Na ja, das war nicht ganz ernst gemeint. Weil Biologen halt Grundkenntnisse in den anderen naturwissenschaftlichen Fächern brauchen. Und dann gibt es ja auch noch die Fächer Biochemie, Biophysik und Biomathematik, die auch mit Biologie zu tun haben. Dass es an den Hochschulen im Kampf um die Mittel die alten Biowissenschaften schwer haben, kann ich mir gut vorstellen. Daran hatte ich nicht gedacht.
Ernst Mayr hat, ähnlich wie Balanus, in einem Spiegel-Gespräch das 20. Jahrhundert als "Jahrhundert der Biologie" bezeichnet. Und auf die verwunderte Nachfrage der Journalisten nannte er ein paar Beispiele, die mich damals überzeugt haben. Wobei diese Rankings natürlich immer etwas Willkürliches und sogar Albernes haben.
- Die Entdeckung der molekularen Grundlagen der Vererbung ist so ein Meilenstein. Übrigens dazu mal on-topic ein Zitat aus Campbell/Reece Biologie: "Die Kristallografen benutzen mathematische Gleichungen, um solche Beugungsmuster in die Information über die räumliche Struktur des betreffenden Moleküls umzusetzen."
Die Folgen dieser Entdeckung haben unser Verständnis vom Leben und seiner Evolution vollkommen verändert. Sie werden in gentechnischen Verfahren auf verschiedensten Gebieten angewandt, z.B. in der aktuellen Entdeckung, daß im Genom von Europäern und Asiaten Gene des Neanderthalers vorhanden sind.
- Ein anderes Beispiel ist die Ökolgie. Für das Verständnis z.B. der Folgen und des Ablaufs des Klimawandels ist die Kenntnis des Kohlendioxid-Metabolismus von Organismen und deren Anpassungsmöglichkeiten genauso elementar wie die Absorptionsspektren von CO2.
- Ein drittes Beispiel ist die Erforschung der neurobiologischen und evolutionären Grundlagen unseres Verhaltens. Pinkers Beispiel zur Adaptivität der Mathematik wurde ja schon irgendwo in diesem Bloggewitter erwähnt: "Drei Bären gehen in eine Höhle. Zwei kommen wieder heraus. Ist es eine gute Idee, die Höhle zu betreten?"
"Wobei diese Rankings natürlich immer etwas Willkürliches und sogar Albernes haben."
Ich stimme Ihnen zu, daß man solche rankings nicht zu ernst nehmen sollte.
Etwas anderes gilt für die Frage, welche neuen Schnittstellen zwischen zwei Disziplinen man propagiert. Aber das wäre sicher ein Thema für einen neuen post.
Welche weiteren Annahmen machen sie? Könnten wir uns mit diesen Aliens überhaupt verständigen, also brauchbare Übersetzungen der Alien-Sprache in unsere eigene, und umgekehrt, anfertigen?
Wenn nein, dann ist die Inkommensurabilität der Mathematiken doch bloß Teil der wesentlich umfassenderen Inkommensurabilität der Sprachen und nicht weiter erstaunlich.
Wenn ja, dann hieße das, daß die Aliens und wir uns unsere Sprachen und die Schlußregeln, mittels derer innerhalb der Sprachen geschlossen werden kann, gegenseitig verständlich machen können sollten, und somit sollte dann im Prinzip auch die Nachvollziehbarkeit der Mathematik des jeweils anderen gegeben sein. Was natürlich nicht hieße, daß die Theorien der einen für die anderen besonders interessant oder gar nützlich sein müßten, aber darauf kommt es ja auch nicht an, sondern zunächst nur darauf, daß man die Schlüsse, die in der jeweils anderen Mathematik vollzogen werden, nachvollziehen kann. Von Absurdität könnte dann nämlich keine Rede mehr sein (außer in dem engen Sinn, den sie ja gerade nicht meinn, daß die Aliens vielleicht nicht verstehen würden, was zur Hölle es ist, das jemand auf die Idee bringt, Finanzmathematik zu betreiben). Was dieser Nachvollziehbarkeit im Wege stehen sollte, wenn prinzipiell die Übersetzbarkeit gegeben ist, wüßte ich nicht.
Ein sehr kluger Kommentar! :-)
"Könnten wir uns mit diesen Aliens überhaupt verständigen, also brauchbare Übersetzungen der Alien-Sprache in unsere eigene, und umgekehrt, anfertigen?"
Natürlich haben Sie völlig recht damit, die Inkommensurabilität mathematischer Sprachen genauso wie die von Umgangssprachen zu beurteilen - ein Problem, daß sich von Wittgensteins Privatsprachenargument über Quines Unerforschlichkeit der Referenz und Davidsons principle of charity bis hinein in den semantischen Externalismus fortpflanzt.
Doch auf die Spitze treiben, kann man die Pointe dieses Artikels noch auf eine andere Weise: Wenn es wahr ist, daß unsere gegenwärtige Mathematik auf kognitiven Metaphern unserer sinnlichen Erfahrung beruht, dann könnten sogar wir eine zweite Mathematik erfinden, in der keine ihrer Aussagen äquivalent sind zu einer mathematischen Aussage, die wir im Moment schon kennen: Wir könnten andere Metaphern formalisieren. Das wäre dann vielleicht nicht mehr nützlich für eine Kommunikation naturwissenschaftlicher Modelle (Danke, Werner!), aber vielleicht würden wir dann eine viel bessere Finanzmathematik machen?
Über aliens können wir leider nur spekulieren: Obwohl sie bei anderer Lebensweise und anderen Sinnesorganen sicher eine von unserer radikal verschiedene Sprache hätten, ist nicht auszuschließen, daß die von Ihnen erwähnte Inkommensurabilität nicht für alle Terme einer Sprache und nicht jede alien-Sprache in gleicher Weise gilt: aliens müssen selbst keine Mathematik treiben, die für sie selbst in irgendeiner Weise nützlich ist. Vielleicht machen sie Mathe einfach nur, weil es Spaß macht und nicht für etwas.
Leider wird selten ersichtlich, wie Mathematiker selbst ihre Tätigkeit reflektieren. Daher hatte ich bei Gelegenheit mal selber herumgefragt:
http://ideafoundlings.blogspot.com/2010/01/context-of-gromovs-program.html