Schuss in den Rücken - Neunter Brief aus meiner Mühle (Teil2)
Newton siedelte die
Apfelgeschichte im Jahr 1666 an, als er 23 Jahre alt war. Schon damals, so
Newton, habe er sich Gedanken gemacht, „ob die Schwerkraft bis zur Bahn des
Mondes reicht“. Das ist, wie wir jetzt wissen, in der verklärenden Sicht
eines alten Mannes falsch dargestellt. Die ursprüngliche Frage hatte sich
eigentlich so gestellt: Wenn ein Apfel zur Erde fällt, warum nicht auch der
Mond? Für Aristoteles war die Antwort klar gewesen. Der Mond besteht aus einer
Substanz, der Quintessenz, die nichts wiegt. Zu Newtons Zeit war bekannt, dass
diese Erklärung falsch sein musste. Die richtige Antwort ist: Der Mond fällt
auch zur Erde. Allerdings fällt er um sie herum.
(Newton und sein Apfel. Die japanische Beschriftung auf dem Holzschnitt aus dem Jahr 1869 sagt: "Newton war ein großer Denker, aber er war überhaupt nicht eingebildet." Es darf gelacht werden.)
Im siebzehnten Jahrhundert
war die Geschütztechnik bereits so weit entwickelt, dass sich die Artilleristen
Gedanken über die Bahnen weit fliegender Geschosse machten. Nehmen wir an, eine
auf einem 9.000 Meter
hohen Berg (nein, in Wirklichkeit ist kein Berg auf der Erde ganz so hoch) stehende
Kanone schießt Kugeln in waagerechter Richtung ab. Die Kugel fällt (wenn wir
den Luftwiderstand vernachlässigen auf einer Parabelkurve) in gewisser
Entfernung zu Boden. Je schneller die Kugel den Lauf verlässt, desto weiter
fliegt sie und um so mehr wird aus der Parabelbahn eine Ellipse. Wenn die 
Mündungsgeschwindigkeit hoch genug ist, entzieht die Erdkrümmung der fallenden
Kugel den Boden. Die Kanonenkugel fällt nun auf einer Kreisbahn um die Erde
herum und trifft (im Idealfall) das
Geschütz von hinten. Wie wenig Newton noch 1680, also 14 Jahre nach seiner
angeblichen Erleuchtung durch den Apfel, die Bahnkurven eines Geschosses
verstanden hat, geht aus dem schon erwähnten Briefwechsel mit Robert Hooke
hervor. Hooke fragt darin, welcher Kurve die Kugel folgen würde, wenn sie ohne
Widerstand die Erde durchdringen könnte. Newton antwortete fälschlich, das
müsse eine Spirale sein. Hooke korrigierte ihn freundlich: Nein, eine Ellipse.
Man kann sich vorstellen, wie sehr Newton diese Richtigstellung gewurmt hat.
Mit Newtons späterem Gravitationsgesetz ist es nicht schwierig die Geschwindigkeit zu errechnen, die die Kanonenkugel benötigt, um von einem 9.000 Meter hohen Berg waagerecht in eine gleich hohe Umlaufbahn geschossen zu werden. Man braucht nur die Erdanziehung in dieser Höhe der Fliehkraft gleichzusetzen. Wer kann’s ausrechnen? Es ist die erste Frage. Siehe unten.
Dass wir so viele Einzelheiten aus Newtons Leben und Arbeit kennen, haben wir einem Zufall zu verdanken. „Cherchez la femme“, sagen die Franzosen, wenn es darum geht, menschliche (besser: männliche) Hintergründe aufzudecken.
Die Frau hinter Newtons Motiven zu entdecken, ist allerdings schwierig. Nach Auskunft aller seiner Biographen, hat er –darin Immanuel Kant vergleichbar- nie mit einer Frau geschlafen oder auch nur eine freundschaftliche Beziehung zu einer gehabt. Mit einer Ausnahme eben: seine innig geliebte Nichte Catherine Conduitt, deren besondere Reize im ganzen gebildeten London bekannt waren. Jonathan Swift („Gullivers Reisen“) machte ihr den Hof, das alte Lästermaul Voltaire schrieb bewundernd über sie („…ohne die charmante Nichte wären die Fluxionen (Newtons Differentialrechnung) und die Gravitation wertlos“). Ein einflussreicher Politiker, der Marquis of Halifax, war Catherines Geliebter und Newtons Gönner. Catherine wurde nach Newtons Tod als seine Testamentvollstreckerin eingesetzt und kam in den Besitz eines großen Koffers mit Newtons Arbeitspapieren. Der Koffer blieb über ihren Tod hinaus in der Familie. Ein Bischof, der beauftragt wurde, die Papiere zu sichten, soll erschrocken den Deckel wieder zugeschlagen haben. So kam der Koffer erst 1936 auf eine Versteigerung. John Maynard Keynes, ein berühmter Wirtschaftswissenschaftler (auf den sich z.B. Bundeskanzler Helmut Schmidt als Entschuldigung für die ausufernde Staatsverschuldung gerne berief), ersteigerte die Papiere. Was er fand, waren Tausende von Seiten mit alchimistischen Rezepten für ein ewiges Leben und mit abwegigen theologischen Theorien, die den Bischof so entsetzt hatten. Newton war z.B. überzeugt gewesen, dass der Bibeltext manipuliert worden war, und suchte mit all seiner unbezweifelbaren Genialität, den Ursprungstext zu rekonstruieren. Newton sei „der letzte Magier“ gewesen, meinte Keynes nach Durchsicht der alten Papiere. Keynes war selbst ein hervorragender Mathematiker und nach Aussagen des Mathematikers Bertrand Russel der „intelligenteste Mensch, den ich je traf.“ Das will aus diesem Munde schon etwas heißen.
Newtons Hochmut resultierte wahrscheinlich aus einer übergroßen Empfindlichkeit. Er hatte nicht verwunden, dass man sein Gravitationsgesetz als spukhafte Geschichte abqualifiziert hatte. Was denn, bitteschön, war denn nun die Kraft, die den Mond an die Erde und beide an die Sonne fesseln sollte? Was bewirkte denn die geisterhafte Fernwirkung durch den leeren Raum hindurch? Das roch nach einem unerklärlichen Wirken Gottes; so ist es kein Wunder, dass viele „Newtonianer“ in England hofften, dem –vor allem in Frankreich- aufkommenden Atheismus wissenschaftlich begründet entgegentreten zu können.
1. Mit welcher Mündungsgeschwindigkeit geht eine
Kanonenkugel in eine 9000 Meter hohe Kreisbahn ein (siehe Zeichnung oben)?
2. Bertrand Russel
formulierte ein bekanntes Paradoxon, das einen deutschen Mathematiker so
verunsicherte, dass er danach nur noch wenig publizierte. Wer war der deutsche Mathematiker?
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Das Experiment muss am Äquator stattfinden, denn sonst dreht sich die Erde unter der Kreisbahn hinweg, und man trifft sich selbst erst sehr viel später, und womöglich aus einem ganz anderen Winkel.
6378160 m Erdradius am Äquator,
9000 m Flughöhe,
6387160 m Radius der Flugbahn,
9,802 m/s^2 Gravitation am Äquator ohne die Fliehkraft durch die Erdrotation,
Kehrwert des Radiusverhältnisses zum Quadrat,
9,802*((6378160/6387160)^2)=
9,774 m/s^2 Gravitation in der Flughöhe,
a = v^2 / r , a = Fliehkraft,
a * r = v^2
QWurzel( a * r ) = v
QWurzel(9,774*6387160)=
7901 m/s absolute Bahngeschwindigkeit,
40131710 m Bahnumfang (r*2*Pi),
86164 s Sterntag,
466 m/s Rotationsgeschwindigkeit der Erde in 9000 m Höhe am Äquator,
7436 m/s Mündungsgeschwindigkeit nach Osten,
8367 m/s Mündungsgeschwindigkeit nach Westen.
Super!
Nicht schlecht ist auch ein Schuß von einem der Pole aus. Das gäbe einen Schrägschuss in den Rücken (immerhin um 21° versetzt).
> 2. Bertrand Russel formulierte ein bekanntes Paradoxon,
> das einen deutschen Mathematiker so verunsicherte, dass
> er danach nur noch wenig publizierte. Wer war der
> deutsche Mathematiker?
Vielleicht wird wohl der gute Frege gemeint sein:
"In 1903, Russel published the antinomy he had discovered two years before and communicated to Frege by letter. The same antinomy was simultaneously and independently discussed in Göttingen by Zermelo and his circle without however reaching the stage of publication.
It seems to make perfect sense to inquire, for any given set, whether it is a member of itself or not. For certain sets one would hardly hesitate to commit himself to saying that they are not members of themselves; the set of planets, e.g., is not a planet, hence not a member of itself. For other sets , one would a little hesitate to regard them as being members of itself; the set of all sets is an obvious example. Therefore it seems to make perfect sense to ask the same question with regard to the set of all sets that are not members of themselves. The answer to this question, however, is alarming: denoting the set under scrutiny by 'S', we see quickly that if S is a member of S, it belongs to the set of all sets which are not members of itself., i.e. it is not a member of itself, but also that if S is not a member of S, it does not belong to the set of all sets that are not members of themselves, hence iis a member of itself; taken together, we convince ourselves that S is a member of itself if and only if S ist not a member of S […]" - Fraenkel, A.A./ Bar-Hillel, Y./Levy, A.: Foundations of Set Theory; Amsterdam/London 1973, 2.ed, p.3.
Genau! Es ging um Freges Definition der Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Teilmenge enthalten. Das sind die üblichen Mengen. Die Menge aller Hunde ist selbst kein Hund und enthält sich daher nicht als Teilmenge. Russel fiel auf, dass hier ein Fall vorliegt, der analog zu dem Beispiel vom Dorbarbier ist, der dadurch definiert ist, dass er alle Männer des Dorfes rasiert, die sich nicht nicht selbst rasieren. Das ist so lange kein Problem, bis man sich fragt, wer denn den Dorfbarbier rasiert. Frege fand aus diesem Paradox keinen zufriedenstellenden Ausweg. Gödels Satz warf seinen Schatten voraus.
Die Menge aller Hunde ist selbst kein Hund.
A = Die Menge aller Hunde
B, C, D = alle Hunde
A = B + C + D
A = kein Hund
Was soll daran paradox sein?
A als Hund zu bezeichnen,
ist doch nur ein unzulässiger Selbstbezug.
A = A + B
gilt doch nur,
wenn B = 0
Selbstverständlich ist auch ein Friseur etwas anderes als seine Kunden.
Das Paradox besteht nicht darin, dass die Menge aller Hunde selbst kein Hund ist. Das ist nur das Beispiel für eine Menge, die sich nicht als Teilmenge enthält. Die Menge aller abstrakten Begriffe dagegen ist selbst ein abstrakter Begriff und enthält sich daher selbst als Element. Bis jetzt haben wir noch kein Paradox.
Fangen wir mit dem Dorfbarbier an: Wenn er sich selbst rasiert, dann darf er sich laut Definition nicht selbst rasieren. Denn er rasiert ja nur die Männer, die sich nicht selbst rasieren. Rasiert er sich aber nicht selbst, so gehört er zu den Männern, die er rasieren muß. Damit sind wir wieder am Start dieser Geschichte.
Nun das Ganze mit den Mengen: Wenn sich die Menge aller Mengen, die sich nicht selbst als Teilmenge enthalten, als Teilmenge enthält, dann widerspricht das ihrer Definition. Wenn sie aber nicht als Teilmenge enthalten ist, dann müßte sie sich gerade darum als Teilmenge enthalten, eben, weil sie sich nicht als Teilmenge enthält.
Näheres s. auch hier: http://de.wikipedia.org/wiki/Russellsche_Antinomie
Hallo Herr Herrig,
mein Hausverstand sagt aber:
Eine Menge kann sich selbst niemals als Teilmenge enthalten.
Das Ganze ist die Summe seiner Teile, aber das Ganze selbst kann nicht zu diesen Teilen gehören.
G = T1 + T2 + T3 = richtig
G = G + T1 + T2 + T3 = falsch
Wasservögel = Enten + Gänse + Schwäne = richtig
Wasservögel = Wasservögel + Enten + Gänse + Schwäne = falsch
Mit Dank für Ihre Antworten im Voraus,
und mit freundlichen Grüssen,
Karl Bednarik.
Hallo Herr Bednarik,
tja, nun haben Sie mit den Mengen der Wasservögel Mengen gewählt, die sich gerade nicht als Teilmengen enthalten. Da ist es wie bei den Hunden. Auch die Menge der Wasservögel ist selbst kein Wasservogel.
Aber erst etwas zum Prinzip: Als Teilmengen von M gelten solche, deren sämtliche Elemente auch Elemente von M sind. Grundsätzlich unterscheidet man nun echte Teilmengen und unechte Teilmengen. Alle von einer Menge M verschiedenen Teilmengen heißen echte Teilmengen. Sind die Teilmengen identisch mit M, so spricht man von unechten Teilmengen. Somit ist jede Menge M stets auch (unechte) Teilmenge von sich selbst. (Es empfiehlt sich nicht, algebraische Zeichen (+,- usw.)zu verwenden, sondern nur die der Mengenlehre üblichen. Das geht in diesem Text aber nicht. Daher jetzt in Worten:). Man schreibt also: "M ist Teilmenge von M" oder, was das gleiche ist, "M ist Teilmenge von sich selbst".
Man wählt diese Festlegung, weil Mengen alle Arten von Elementen, auch Abstrakta, einschließen können. Wenn man nun feststellt (was wohl der Fall ist),dass auch der Begriff "Menge aller abstrakten Begriffe" selbst ein abstrakter Begriff ist, dann muss auch dieses Element defnitionsgemäß in diese Menge hinein, denn sonst wäre diese ja nicht die Menge aller abstrakten Begriffe, sondern es würde schon mal einer darin fehlen.
Hallo Herr Herrig,
leise Zweifel des Hausverstandes:
Verboten ist zum Beispiel:
1.) durch 0 dividieren,
2.) selbstbezügliche Aussagen machen.
Wenn ich zum Beispiel sagen würde:
"Alles was ist sage ist falsch"
dann würde das für alle meine Aussagen gelten,
nur nicht für meine erste Aussage,
denn nach Regel 2.)
wird meine erste Aussage zu einer Meta-Aussage
über alle meine anderen Aussagen,
aber niemals über sich selbst.
Genau so gut könnte ich alle meine Kleider in einen Koffer packen,
und dann stecke ich diesen Koffer auch noch in eben diesen Koffer hinein.
Man kann keinen Koffer in sich selbst hinein stecken.
Der Koffer ist für die Kleider ein Meta-Begriff,
und liegt eine Ebene über ihrer Begriffs-Ebene.
Mit Dank für Ihre Antworten im Voraus,
und mit freundlichen Grüssen,
Karl Bednarik.
Gerade weil auch der Begriff "Menge aller abstrakten Begriffe" selbst ein abstrakter Begriff ist, kann seine Bedeutung nur lauten "Menge aller anderen abstrakten Begriffe", denn sonst wird das Verbot der Selbstbezüglichkeit verletzt.
Die "Menge aller anderen abstrakten Begriffe" ist ein Meta-Begriff über die "Menge aller abstrakten Begriffe".
Keine Aussage kann jemals sinnvoll etwas über sich selbst aussagen.
A = A ist zwar richtig, aber sinnlos,
A = nicht A ist falsch.
Hallo Herr Bednarik,
ja, das ist richtig: Paradoxa (Antinomien) entspringen der Selbstbzüglichkeit. In der Mathematik hat man versucht, was auch Sie vorschlagen, selbstbezügliche Definitionen im Ansatz unterbinden, was das System aber fürchterlich schwerfällig macht. Vor allem ist es oft nicht trivial, die Rückbezüge aufzudecken. Nehmen wir ein Computerprogramm mit den Zeilen: "Die folgende Zeile ist wahr." Die nächste Zeile sagt: "Die vorhergehende Zeile ist nicht wahr." Ist das Programm stark verschachtelt, ist es schwierig bis unmöglich, den Haken zu finden. Es kommt auf die Komplexität an. Da sind wir bei Gödels Theorem, dass jedes hinreichend mächtige formale System entweder unvollständig oder widersprüchlich ist. (Das können wir aber nicht mehr in diesen Kommentarzeilen abhandeln. Empfehlenswerte Abhandlung: "Gödel, Escher, Bach" von Hofstadter).
Die andere Möglichkeit ist das Ausweichen auf Meta-Systeme, wobei für jedes Meta-System auch Selbstbezüge möglich werden, so dass man es mit einer unendlichen Staffelung von Meta-meta-usw. zu tun bekommt. Auch keine sehr befriedigende Aussicht.
Was bleibt? Paradoxa sind gehören zum Leben und bieten auch Würze. Eines der schönsten, das ich kenne, stammt von Miguel de Cervantes: Don Quixote erzählt dem wackeren Knappen Sancho Pansa folgende Geschichte: Einst gab es in einer spanischen Provinz eine tiefe Schlucht, über die nur eine Brücke führte. Am Ende der Brücke saßen jeweils weise Männer, die jeden, der die Brücke überquert hatte, nach dem Ziel und Zweck fragten. Sagte er die Wahrheit durfte er gehen, log er, wurde er am Galgen aufgehängt. So ging es viele Jahre. Viele durften weiterziehen. Manche wurden gehenkt. Da tauchte eines Tages in Mann auf, der, als man ihn fragte, antwortete: "Ich bin über die Brücke gekommen, um an diesem Galgen aufgehängt zu werden." Da waren die Weisen in großer Not. Würden sie ihn hängen, so hatte er die Wahrheit gesagt, und sie hätten ihn laufen lassen müssen. Ließen sie ihn aber lafen, so hatte er offenbar gelogen. Don Quixote fragt nun Sancho: "Was hättest du an Stelle der Weisen getan?" Sancho denkt nur kurz nach. Dann antwortet er: "Ich hätte ihn erst gehängt und dann gefragt."
Noch eine Anmerkung: keine Regel ohne Ausnahme. In der Schule lernte man den Übergang von der Sekanten- zur Tangentensteigung. Dabei läßt man für die Sekantensteigung Delta y/Delta x den Nenner Delta x gegen Null gehen, um zur Tangentensteigung dy/dx zu kommen. Man dividiert also im Grenzfall Null durch Null. Es kommt aber dennoch etwas richtiges heraus.
In EXCEL sieht das so aus:
Zelle A1 enthält =A2
Zelle A2 enthält =A1
Fehlermeldung: Zirkelbezug geht nicht.
Ich habe auch grössere Rechtecke aus Zellen aufgebaut,
aber das EXCEL lässt sich nicht austricksen.
Mein Programm zur Steuerung meines Mikromanipulators arbeitet mit der Umwandlung von abstrakten (Meta-)Begriffen in konkrete Begriffe.
Zum Beispiel:
A = B + C
B = D + E
C = F + G
usw.
Wenn nun A = A + B vorkommt, dann hört das Programm nach 20 Konkretisierungs-Ebenen von selbst auf, darüber nachzudenken.
Praktische Anwendungen haben deutlich weniger als 20 Konkretisierungs-Ebenen.
Ich denke.
Ich denke, dass ich denke.
Ich denke, dass ich denke, dass ich denke.
usw.
Hier sind ein paar Bilder und Texte unter dem Titel Robotik:
http://members.chello.at/karl.bednarik/
(Nicht nur) Frege war der Meinung, dass die Mengelehre elementarer ist als die Arithmetik. Zahlen sind bereits Ableitungen der als elementarer gedachten Mengen. Somit folgt: ist das auf den Axiomen der Mengenlehre errichtete System vollständig, so repräsentiert es das gesamte (logische) Denken. Außerhalb kann es kein Meta-System geben, denn das wäre ein Widerspruch gegen die Definition.
Ein Computer ist kein vollständiges logisches System, sondern eine nach gewissen logischen Regeln gebauter und programmierter Rechner. Dafür gibt es zwangläufig ein Meta-System in Gestalt des Konstrukteurs/Programmierers. An dieser Begrenztheit des Computers ändern auch die beeindruckenden Visualisierungen mathematischer Beziehungen nichts, die Sie angehängt haben.
Nehmen wir zur Verdeutlichung ein analoges Beispiel. Ein Schachspiel besteht aus der Anfangsbedingung, der Grundaufstellung der Figuren und dann den Zugregeln für sie. Dabei kann es im Endspiel zum Dauerschach kommen. Damit der König sich nicht bis in alle Ewigkeit durch den immer gleichen Ausfallschritt der Matt-Setzung entziehen kann, greift ein Meta-System (nennen wir es mal Schiedsrichter) ein und bricht die Partie ab.
So ist es auch im Computer. Es ist weder ein Verstoß gegen die Syntax noch gegen die Logik, ihn auf eine Endlosschleife zu schicken. Sagt man ihm: Setze auf A den Speicherinhalt von B und, auf B angekommen, wird ihm erklärt, dieser fände sich auf A, führt zu einem Endlosprozess. Nach einiger Zeit greift der einprogrammierte Schiedsrichter ein und erklärt mit einer Fehlermeldung den Vorgang für unzulässig. Das hat aber nichts mit einem Verstoß gegen die Logik, geschweige denn mit einem Paradoxon zu tun. Ein "Zirkelbezug" ist nicht mit einem Selbstbezug gleichzusetzen.(Ohnehin muss man mit den Zeichen der Programmierung vorsichtig umgehen: Das Gleichheitszeichen „=“ zwischen A=A+B sagt hier, anders als in Arithmetik, nicht B=0, sondern heißt nur: Ersetze den Wert A durch A+B. Analogien zu den logischen Operatoren der Mengenlehre sind kaum noch gegeben. Auch kann ein Computer einen abstrakten Begriff bestenfalls in einer sehr speziellen Fachsprache „konkretisieren“. Ein Abstraktum, wie etwa „Wahrheit“, lässt sich grundsätzlich nicht in einen Gegenstand verwandeln. („concrete“ ist im Englischen schließlich Beton.)) Analogien aus der Computerwelt führen daher nicht wirklich in den Bereich, um den es geht: Das Denken. Es kann zum Denken kein Meta-Denken geben. Es ist nicht möglich aus dem Denken heraus ein Meta-Denken (was immer das sein soll) zu entwickeln.
Es kann zum Denken kein Meta-Denken geben.
Oh doch.
Die Evolution selektiert alle nicht zu ihrer Umwelt passenden Gehirne weg.
Wer ständig sagt:
"ich denke, dass ich denke, dass ich denke",
verschwindet bald aus dem Dschungel.
Auch wer sagt: "2 * 3 = 7" verschwindet bald.
In unserem Universum passen Koffer nicht in den selben Koffer hinein.
Ein Bild des Ouroboros, das ist die Schlange, die sich selbst frisst (GWBASIC 1983):
http://members.chello.at/karl.bednarik/TORUSA.jpg
Die Evolution selbst, muss wiederum den Gesetzen der Physik und ihren Konsequenzen gehorchen.
Wer die Naturgesetze gemacht hat, das ist derzeit noch unbekannt.
Das ist doch eine hübsche Reihe von Meta-und Sub-Begriffen:
Die Naturgesetze bestimmen, was die Physik tut.
Die Physik bestimmt, was die Evolution tut.
Die Evolution bestimmt, was das Gehirn tut.
Das Gehirn bestimmt, was der Computer tut.
Der Computer bestimmt, was die Werkzeugmaschine tut.
1. Nein, es ist offensichtlich, dass sich ein Koffer nicht selbst enthalten kann. Schließlich handelt es sich um einen konkreten Gegenstand. Bei Abstrakta ist das nicht denknotwendig der Fall. Nehmen wir –es soll hier nun wirklich mein letztes Beispiel sein- „die Liebe“. Wir definieren, dass die Liebe die Liebe zu allem und jedem umfassen soll. Dann beinhaltet sie auch die Liebe zur Liebe. Damit enthält die Liebe sich selbst.
2. Wer es mit dem Rechnen nicht so hat, mag zwar an einem Schulabschluss scheitern, kann aber evtl. ein bedeutender Künstler, Artist, Sportler oder anderes werden, dem die Damenwelt zu Füßen liegt. Von einem „Verschwinden aus dem Dschungel“ muss keineswegs die Rede sein. Intellekt ist nicht unbedingt sexy.
3. Das „survival of the fittest“ in der Evolution ist nicht an Gehirne gebunden. Äußerst erfolgreiche Lebewesen, wie Bakterien oder Viren, haben erst gar keines. Dennoch wäre es unrealistisch, sie als chancenlos oder lebensuntüchtig zu bezeichnen.
4. In meinen kommenden Beiträgen soll noch ausführlich über das Wesen der Naturgesetze und die verschiedenen Anschauungen darüber gesprochen werden.