Zeitartig imaginär - 11. Brief aus meiner Mühle (Teil 4)
In aller (verbalen) Klarheit hatte bereits H.G.Wells (in „The Time Machine“) 1895 Minkowskis Auffassung vorformuliert:
„Es ist klar,“ fuhr der Zeitreisende fort, „dass jeder reale Körper eine Ausdehnung in vier Richtungen haben muss: er muss Länge, Breite und Dicke haben sowie – Dauer. Aber bedingt durch eine natürliche Schwäche des Fleisches, die ich Ihnen sogleich erläutern möchte, neigen wir dazu, diese Tatsache zu übersehen.“
Aber
Wells (s. Bild) war damit nicht der erste. Er hatte von der „Vierten Dimension“
vermutlich im Januar 1887 während eines Vortrags eines Kommilitonen über „The
Forth Dimension“ gehört. (Wells studierte ab 1884 in London vier Jahre lang
Physik, Chemie, Astronomie, Geologie und Biologie). Schon der französische Physiker und
Mathematiker Jean-Baptiste le Rond d’Alembert (1717-1787), verantwortlich für
den mathematischen Teil der „Encyclopédie“, hatte mit seiner Auffassung von der
Zeit als vierter Dimension seine Zeitgenossen provoziert. Auch der Mathematiker
August Ferdinand Möbius (1790-1868), einer der Pioniere der Topologie,
spekulierte über die vierte Dimension. Weniger bekannt ist, dass sich Edgar
Allen Poe nicht nur mit den Abgründen der menschlichen Psyche befasste, sondern
auch mit wissenschaftlichen Themen und dabei vor allem erkenntnistheoretische
Debatten liebte. 1846 veröffentlichte er ein langes metaphysisches Essay mit
dem Titel „Eureka“ (ich bitte, die schwerfällige Sprache zu entschuldigen; der sehr
verschachtelte Text ist wirklich nicht ganz leicht zu übersetzen):
„Raum und Dauer SIND EINS. Damit das Universum durch all die Zeiten andauern könnte,…(dabei) so unaussprechlich vielen und komplexen Spielarten des Lebens Geburt und Tod bescherend, war es erforderlich, dass die Sterne… dies in einer Zeit vollbrachten, während der alle Dinge begannen, wieder unausweichlich zu einer Einheit zusammenzustürzen, (und zwar) mit einer Geschwindigkeit umgekehrt proportional zum Quadrat ihrer Entfernungen.“ Poe drang mit dieser Darstellung bereits tief in Minkowskis Welt vor. Auf jeden Fall aber setzte die einmal eingeleitete Fusion von Raum und Zeit genügend spekulative Energie frei, um zahllose Chrononauten durch die Weltalter kurven zu lassen.
Als geschulter Mathematiker machte Minkowski natürlich nicht den Fehler, die Zeit per se in seine Welt einzubauen. Erst musste sie zu einem Vektor werden. Also multiplizierte er sie mit der Lichtgeschwindigkeit c (und aus rein mathematischen Gründen auch noch mit dem imaginären Operator i). Damit war die Zeit zur Lichtzeit (eine Entfernung analog zum Lichtjahr) geworden. 1 Meter Lichtzeit ist die Zeit, die das Licht für 1 Meter braucht. Er fand, dass man die angeblichen wechselseitigen Verkürzungen von Strecken oder die Verlangsamungen der Zeiten bei hohen Geschwindigkeiten durch die Rotation eines vierdimensionalen Raumzeit-Gebildes darstellen konnte. Es ergab sich nämlich folgende Gleichung:
(Raumzeitliche Entfernung)2 = (Räumliche Entfernung)2 – (Zeitliche Entfernung)2.
Die räumliche Entfernung ist über die drei Koordinatenachsen x1, x2, x3 zu bilden und unter Einschluss der Zeit als viertem Vektor
x4 = ict mit √-1
ergibt sich als Quadrat der vierdimensionalen raumzeitlichen Entfernung. Es ist der Satz des Pythagoras in drei räumlichen und einer zeitlichen Dimension:
ds2 = dx12 + dx22 + dx32 – c2dt2
Beispiel: Ein Körper bewegt sich in der vierdimensionalen Raumzeit 2 m nach rechts, 3 m nach vorn, 4 m nach oben und 5 m nach „später“, dann hat er s = 2 m „zurückgelegt“ (4+9+16-25 = 4, √4=2). Natürlich sind auch negative Ergebnisse möglich. Die nennt man „zeitartig“, im Gegensatz zu den positiven „raumartigen“. Damit griff Minkowski eine Idee von Poincaré auf, der darin - im Unterschied zu Einstein und Minkowski- aber nur einen mathematischen Kunstgriff gesehen hatte, der nichts mit der physikalischen Wirklichkeit zu tun hat. Minkowski aber sah die Gelegenheit zu einer revolutionären Umdeutung der Wirklichkeit gekommen. In der Minkowski-Welt gibt es Raum und Zeit nicht. Es gibt nur die Raumzeit, jenes vierdimensionale unvorstellbare Gebilde, worin sich alles stets mit Lichtgeschwindigkeit bewegt. Entweder ein Körper ruht im Raum, dann bewegt er sich mit „Lichtgeschwindigkeit“ entlang der zeitlichen Achse, oder er bewegt sich mit Lichtgeschwindigkeit im Raum (nur die masselosen Photonen können das), dann steht die Zeit still, und der Raum muss demzufolge in Bewegungsrichtung auf Null zusammenschrumpfen. Dazwischen sind je nach Drehwinkel alle Zwischenstufen von ds/dt = v = 0 bis v = c (c = Lichtgeschwindigkeit) möglich. Klingt das für schwärmerische Gemüter nicht aufregend? Ja, tatsächlich, das klingt gleichzeitig geheimnisvoll und doch irgendwie modern. Es folgte –typisch für die zwanziger Jahre- eine Fülle sensationeller Literatur, in der Literaten, aber auch Wissenschaftler darlegten, wie man ganz einfach den Raum in die Zeit und umgekehrt verwandeln könne. Alles sei mathematisch bewiesen. Warum sollte das Publikum es nicht glauben? Auch politische Erlösungsphantasien hatten schließlich Hochkonjunktur. Aber nicht alles Aufregende und Geheimnisvolle muss auch richtig sein. Minkowskis verlockende Geometrisierung der Zeit begründete einen Sündenfall der Physik. Aber auch das ist wohl relativ :-) zu sehen. Das 20. Jahrhundert hat weit schlimmere Irrtümer gekannt als eine haltlose Mathematisierung von Raum und Zeit.
Selbst dem Altmeister der Relativität, Max Born („Die Relativitätstheorie Einsteins“), war die Sache nicht geheuer. Einerseits gilt für ihn: „Minkowskis Transformation u = ict ist nur als mathematischer Kunstgriff zu werten.“, dann behauptet er aber noch auf der gleichen Seite auch das Gegenteil (Unterstreichung von mir): „Für jede zeitartige Weltlinie ist F also negativ, also s imaginär; dann gibt es ein Koordinatensystem, in dem x=0, also s=√(-c2t2) = ict ist. In jedem Fall hat also s eine einfache Bedeutung und ist als messbare Größe zu betrachten.“ Ja, was denn nun? (Seufz, Max! So geht es, wenn man über etwas schreibt, an das man selbst nicht glaubt.)
Bevor wir nun eine wirklich phantastische Mühle besuchen, erst noch die beiden Fragen:
1. Im Jahr 1589 wurde Galilei Professor an der Universität Pisa. In welchem Fach? 2. Heinrich Hertz starb bereits mit 36 Jahren. Woran?
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Interessante Konsequenzen (Wiederholung):
Die Dreihundertmillionstelsekunde ist also ein imaginären Meter (im).
1 s / 300 000 000 = 1 im
1 s = 300 000 000 im
Das Quadrat der Dreihundertmillionstelsekunde ist daher minus ein Quadratmeter.
----------------
( 1 s / 300 000 000 )^2 = -1 m^2
1 s^2 = -90 000 000 000 000 000 m^2
Das ergibt dann für die Beschleunigung:
1 m / s^2 = 1 m / -90 000 000 000 000 000 m^2
1 m / s^2 = -1 / 90 000 000 000 000 000 m
------------------
Wenn eine gerade Linie von einem Meter Länge eine Dreihundertmillionstelsekunde lang existiert, dann entsteht ein Quadrat mit den Kanten 1 Meter und 1 imaginärer Meter, also 1 imaginärer Quadratmeter.
1 m * 1 im = 1 im^2
Die pythagoreische Diagonale dieses imaginären Quadratmeters hat dann die Länge 0.
QWurzel( (1 m)^2 + (1 im)^2 ) =
QWurzel( 1 m^2 - 1 m^2 ) = 0
Denn das Quadrat einer Dreihundertmillionstelsekunde ist minus ein Quadratmeter.
Da haben Sie wirklich interessante (und vor allem verwirrende) Konsequenzen aufgezeigt. Das Rechnen mit i führt in der Tat zu ausgesprochenen Skurrilitäten. So ist ja z.B. i hoch 4 = i*i+ i*i = 1 und in Umkehrung davon muss i somit die vierte Wurzel aus 1 sein.
Ich habe einige Zeit über Ihre Darlegung der Diagonalen des imaginären Quadrats nachdenken müssen, weil die Konsequenz einer Null-Diagonalen absurd erscheint. Das Wort absurd ist hier allerdings mit aller Vorsicht zu genießen, da es sich ja um ein reales, sondern um ein (halb)imaginäres Rechteck handelt. Wie wird man dieses unerwünschte Ergebnis los? Indem man den Satz des Pythagoras in der Gaußschen Zahlenebene nicht so anwenden darf wie im kartesischen System. Es ist „verboten“. Der Abstand zwischen zwei Punkten ergibt sich im Gaußschen System aus deren einfacher Subtraktion. Nehmen wir einmal Ihr Beispiel der Geraden von 1 Meter Länge, die sich 1 m zeitartig – von ict nach 2 ict - fortbewegt. Dann spannt sich, wie sie richtig beschreiben, ein Rechteck auf mit den Seiten a = 1 Meter und b = ict. Die Diagonale in diesem Rechteck (von links unten nach rechts oben) ist nun
d = (2 ict + 2) – (ict +1) = ict + 1.
Nimmt man den Satz des Pythagoras, so kommt in der Tat Null heraus. (Wir normieren um, so dass c=1 ist, weil dann keine großen Zahlen auftauchen, die Konsequenz ist nur, dass 1 neuer Meter jetzt gleich 3*108 m ist). Dann ergibt sich für das Quadrat der Diagonale (wie Sie auch schon gezeigt haben):
(ict)*(ict) + 1*1 = -1+1 = 0.
Ein negatives Vorzeichen vor ict würde an diesem Ergebnis nichts ändern, denn –i*-i ist auch -1. (Ein paar Anregungen zum Rechnen in der komplexen Zahlenebene finden sich hier:
http://www.elektroniktutor.de/mathe/komplex.html)
Was sagt das aber zur Physik? M.E. nur, dass sich Konzepte mit komplexen Zahlen nur dann in die Physik übertragen lassen, wenn sich nachweisbar sinnvolle Ergebnisse finden lassen, die dann aber nicht imaginär sein dürfen. In dem physikalischen Raum, der uns umgibt, gilt nämlich der Satz des Pythagoras. Nach langer Beschäftigung mit den komplexen Zahlen fühlte sich Gauß sich –der Legende nach- gedrängt, zu prüfen, ob der uns umgebenden Raum denn wirklich euklidisch sei. Er fand jedenfalls nichts gegenteiliges, und bis heute wurde experimentell nie etwas anderes entdeckt.
Seltsame Frage ohne i :
-1^0 = 1
-1^1 = -1
-1^2 = 1
-1^3 = -1
-1^4 = 1
-1^5 = -1
Welches Vorzeichen hat dann -1^1,5 ?
Um das zu beantworten, muss man die Punkte der Gaußsche Zahlenebene in Zeigerdarstellung formulieren, wobei dann trigonometrische Funktionen auftauchen. Für eine komplexe Zahl z gilt dann zusammen mit der Eulerschen Beziehung:
z = a + bi = r(cosφ + i sinφ) = r*e hoch iφ
Daraus ergibt sich auf umständlichem Weg aus den Moivreschen Formeln durch Reihenentwicklung das Ergebnis:
i hoch 1,5 = -0,707106781 + 0,707106781 i
Das Ergebnis ist also wieder eine komplexe Zahl. Hübsche mathematische Spielerei, aber alles andere als Physik.
Sorry, soeben sehe ich, dass ich die Frage falsch verstanden hatte. Die echte ist zum Glück leichter zu beantworten:
-1 hoch 1,5 = – (1 hoch 1,5) = -1
Halt, ist immer noch unvollständig:
(-1) hoch 1,5 = (i quadrat) hoch 1,5 = i hoch 3 = -1*i = -i
Sehr geehrter Herr Herrig
Könnte ich Ihre Texte in einem Guss bekommen.
In jüngster Zeit ist mir kaum etwas Unterhaltsameres und zugleich Lehrreiches vor Augen gekommen, als Ihre "Briefe".
Danke schon mal.
Hans
Ich glaube, ich spendiere dem Blog mal eine Druckansicht. Damit kann man sich die einzelnen Folgen schön ausdrucken.
Der Blog hat nun eine Druckansicht.
"Erst musste sie [die Zeit] zu einem Vektor werden" ... Wenn ich das richtig verstanden habe, dann ist mit unserer Alltagsanschauung die Zeit klassisch stets ein Vektor, nämlich immer in die Zukunft gerichtet.
Ich glaube, das hier gemeinte Problem in der Minkowski-Welt ist eher die physikalische Dimension (Einheit): die anderen drei Dimensionen im Vierervektor ("Minkowski-Welt") sind raumdimensional, also Einheit z.B. Meter [m]. Will man jetzt aber sinnvoll Physik machen, dann muss man die vierte Komponente (Zeit) der eindimensionalen Matrix auch raumartig normieren: *deswegen* wird mit c multipliziert - nicht, weil man was aus t einen Vektor machen wollte. Das ginge doch auch gar nicht, denn man multipliziert m.W. mit dem Betrag der Lichtgeschw., also einer Konstante, nicht mit dem Geschw.-Vektor von Photonen.
Oder?
[vielleicht war das ja historisch anders und ich denke zu modern?]
(-1)^(1,5) = (-1)^(3/2) oder?
= QWurzel (-1)^3
also bis hierher noch nicht gaußisch-komplex, aber ab jetzt:
= QWurzel (-1)
= i
oder nicht?
"... also s=(-c^2 t^2) = ict ist. In jedem Fall hat also s eine einfache Bedeutung und ist als messbare Größe zu betrachten.“ Ja, was denn nun?"
Hier fehlt mir ein Stück Kontext: was genau ist x und F in dem Zitat?
Kann es sein, dass hier gemeint ist: für das Koord.sys. mit x=0 (x vllt ein Weg?) ist s komplexwertig geschrieben: s= Realteil(s) + Imaginärteil(s) mit Re(s)=0 und Im(s)=ict. Wie Sie selbst schreiben, sind physikalisch relevant stets nur die Realteile der komplexen Gleichungen: Das ist ein Konzept, das sich durch die gesamte theoretische Physik zieht. Wenngleich also die Mathe ausrechnet, dass s = ict ist, so ist der Physik das relativ egal, weil Im(s) eben imaginär (mathematischer Taschenspielerei) und nicht real ist. Ich vermute, dies erklärt die Benennung dieser beiden Komponenten von Gaußschen Zahlen?
Demnach ist der scheinbare Widerspruch Borns auflösbar: s hat in jedem Fall genau eine (physikalische) Bedeutung als messbare Größe; der Im(s) ist uns (Physikern) also egal, weil wir sie ihn nicht messen können.
Kann das sein?
Sie schreiben: „Ich glaube, das hier gemeinte Problem in der Minkowski-Welt ist eher die physikalische Dimension (Einheit): die anderen drei Dimensionen im Vierervektor ("Minkowski-Welt") sind raumdimensional, also Einheit z.B. Meter [m].“
M.E. sagt allein schon die Bezeichnung „Vierervektor“, dass auch die zeitartige Komponente üblicherweise als „Vektor“ angesehen wird, der in eine anschaulich nicht vorstellbare Richtung zeigt. Sonst wäre es keine „Vierervektor“. Multiplikation von t mit c führt ebenfalls zur Dimension einer Länge. Gegen die Bezeichnung „raumartige Normierung“ habe ich daher nichts einzuwenden. Es geht ja darum, einen „Vierervektor“ zu erhalten. Mathematisch ist gegen dieses Vorgehen ohnehin nichts einzuwenden und ist in höherdimensionalen Räumen gängige Praxis. In der Visualisierung der „Raumzeit“ ebenfalls. Unter Weglassen einer räumlichen Koordinatenachse entstehen auf diese Weise die beliebten Bilder von dem Brotlaib der Raumzeit, in denen „die raumartig normierte Zeit“ als orthogonaler Vektor auf einer räumlichen Ebene erscheint. Ob man deshalb aber berechtigt ist, dies als sinnvolle Physik zu bezeichnen, ist eine andere Frage. Zugrunde liegt das Problem vom Wesen der Zeit, die seit jeher keineswegs unumstritten ist. Gerade nicht unter Physikern. Ich will dazu gerne in zukünftigen Briefen noch Beispiele anführen.
Gegen ihre Berechnung von i ist nichts einzuwenden. Vielleicht nicht ganz überraschend, kann man zu zwei verschiedenen Vorzeichen kommen. Jedenfalls leuchtet mir im Moment nicht ein, warum es nur eine erlaubte Lösung geben soll.
Die Definition der „raumzeitlichen Entfernung“ s im Vierervektor ist keineswegs „einfach“. Daran ändert sich nichts, wenn man für s eine reelle Lösung erhalten kann. Das ist nicht immer der Fall. Es hängt davon ab, ob der „raumartige“ oder „zeitartige“ Anteil im vierdimensionalen Satz des Pythagoras überwiegt, ob man also einen positiven oder negativen Wert für s-quadrat erhält. Im letzteren Fall ist s nur imaginär. Oder nicht?