Starre Scheiben drehen nicht. 12. Brief aus meiner Mühle (Teil 3)
Im September 1909 veröffentlichte Paul Ehrenfest einen kurzen
Artikel mit dem Titel „Gleichförmige Rotation starrer Körper und
Relativitätstheorie“. Ehrenfest demonstrierte anhand eines rotierenden
Zylinders, dass ein realer Körper keine Starrheit im Sinne von Born aufweisen
könne. Es gibt nämlich zwei Möglichkeiten eine rotierende Kreisscheibe zu
beschreiben. Einmal über eine Summation infinitesimal kurzer linearer Strecken
entlang des Umfangs. Für hinreichend kurze Zeitabschnitte ist deren Bewegung
entlang der Tangente linear und sie sollten daher relativistisch verkürzt
erscheinen oder sein. Des Weiteren ist ein Kreis aber auch durch all seine
Radien definiert, die sich nicht relativistisch kontrahieren können, da sie
quer zur Bewegungsrichtung liegen. Da nun
der Radius eines langen Zylinders sich aber nicht entlang der Rotationsachse biegen
könne, so Ehrenfest, müsse sich der Zylinder mit zunehmender Umfangsgeschwindigkeit
kontrahieren, andernfalls könne U=2πR für einen rotierenden Zylinder nicht länger
gültig sein. Ganz im Gegenteil. Bei Annäherung an die Lichtgeschwindigkeit
sollte der Umfang bei konstant gebliebenem Radius ganz verschwinden. Was sollte
dann aus dem Zylinder werden?
Die ersten, die sich daraufhin zu Wort meldeten, waren die Mathematiker
Gustav Herglotz und Fritz Noether. (Die bedeutende Mathematikerin Emmy Noether
(Bild), deren Büste in der Münchener Ruhmeshalle steht, war seine ältere
Schwester). Sie argumentierten, dass eine im Bornschen Sinne starre Scheibe
überhaupt nicht auf Drehzahlen beschleunigt werden könne. Sie könne sich also
gar nicht drehen. Damit hatten sie gnadenlos den Finger auf die größte Schwachstelle
in Borns Argumentation gelegt.
Körper, die sich frei im Raum bewegen, besitzen mindestens drei Freiheitsgrade der Bewegung. Dies sind die vektoriellen Beiträge auf den drei Koordinatenachsen. Im Fall einatomiger Gase macht sich dieses Verhalten durch eine relativ niedrige spezifische Wärme cv bemerkbar. Für Helium etwa beträgt cv (in alter Notation, die den Vorteil hat, dass man sich die Zahlenwerte leicht merken kann) 3cal*Mol-1*Grad-1, d.h. 1 cal* Mol-1*Grad-1 für jeden Freiheitsgrad. Im Fall linearer Moleküle kommen zwei Rotationsfreiheitsgrade hinzu, so dass z.B. für N2 der Wert von cv auf 5 cal* Mol-1*Grad-1 wächst. Besitzen die Moleküle eine Ausdehnung in mindestens zwei Raumrichtungen, wie etwa das nichtlineare CO2, so wächst cv auf 6 cal. Damit sind alle externen Freiheitsgrade ausgeschöpft. (Atome verhalten sich wie vollkommen glatte Kugeln, so dass sie für Rotationen um sich selbst keine Energie aufnehmen können. Analoges gilt für die Rotation um die Längsachse eines linearen Moleküls. In der Praxis können, bedingt durch interne Molekülschwingungen, geringe Abweichungen auftreten).
Max Born hatte nun für seine „starren“ Elektronen nur drei translatorische Freiheitsgrade berücksichtigt. Mit zusätzlichen Rotationen wäre er auch in Teufels Küche geraten, denn die platten Elektronen müssten -je nach Rotationsrichtung- verschiedene Trägheitsmomente aufweisen. Zwei Massen, eine longitudinale und eine transversale, hatte man sich ja schon eingefangen. Die Vereinfachung wirkte sich nun aber fatal aus. Gemäß dem Herglotz-Noether-Theorem konnte eine im Bornschen Sinne starre Scheibe ganz einfach nicht rotieren.
Manchen Physikern, sofern sie die Diskussion verfolgten, war wahrscheinlich nicht klar, wieso aus Borns zwar abgeplatteten aber dennoch als „starr“ beschriebenen Elektronen folgen sollte, dass eine Kreisscheibe nicht mehr rotieren kann. Das klang reichlich seltsam. Vielleicht war Borns Definition ja eine unzulässige Idealisierung. Reale Körper konnten sich zusätzlich zur Lorentzkontraktion ja noch elastisch verformen. Es fragte sich nur: wie?
Es erhob sich nun auch eine Debatte, ob die Umfangsverkürzung denn nun wirklich real sei oder nur von einem ruhenden Beobachter so gesehen werde, also schlicht ein rein optisches Phänomen sei. Ein mitrotierender Beobachter könne schließlich grundsätzlich nichts dergleichen bemerken. Einstein selbst legte in einem Briefwechsel mit dem kroatischen Mathematiker Vladimir Varic(ak dar, dass die relativistische Kontraktion einerseits scheinbar sei, da ein mitgeführter Beobachter sie tatsächlich nicht feststellen könne, andererseits aber auch wiederum real, weil ein ruhender Beobachter sie bemerke und daraus Konsequenzen ableiten könne. Diese Feststellungen vertieften aber nur die Ratlosigkeit. Varic(ak ärgerte Einstein noch ein wenig mit einer Veröffentlichung, in der er darlegte, dass die relativistische Verkürzung nur ein psychologischer Effekt sei.
Als Ehrenfest aus dem rotierenden Körper einen langen Zylinder machte, hatte er einen allzu bequemen Rückweg abgeschnitten. Hätte er begonnen, mit einer dünnen Scheibe zu argumentieren, wäre ihm wahrscheinlich entgegengehalten worden, sie müsse sich ganz einfach zu einer Schüssel und schließlich zu einem sphärischen Gebilde verformen. Dann sei der Umfang beliebig verkürzt und der Radius vollständig erhalten. Und wer sollte so schnell das Gegenteil beweisen? Experimentalphysiker hatten sowieso ihre Bedenken. Sie hatten einige Erfahrung mit schnell rotierenden Rädern. Wer mit hochtourig drehenden Apparaten, etwa Ultrazentrifugen oder bestimmten Turbinen, zu tun hatte, wusste, dass die Rotoren unter der Wirkung der Fliehkräfte solange expandieren bis das Material nachgibt und sie schließlich regelrecht explodieren. Eine Kontraktion hingegen war noch niemandem aufgefallen. Die meisten kümmerten sich daher nicht weiter um diese exquisiten Ideen.
Nun war auch Max Planck hinzugeeilt und betonte, dass die Kontraktion eines rotierenden Zylinders nicht mit dem verwechselt werden dürfe, was ein auf seinem Querschnitt befindlicher Beobachter einerseits und ein daneben stehender Beobachter andererseits registrieren würden. Man müsse eine dazu passende Theorie der Elastizität berücksichtigen. Damit war nun Tür und Tor offen, und weitere mathematisch orientierte Theoretiker meldeten sich mit Beiträgen. Theodor Kaluza (heute bekannt als „Erfinder der fünften Dimension“ durch die Kaluza-Klein-Theorie), wies darauf hin, das Paradox löse sich auf, wenn die Geometrie der rotierenden Scheibe nichteuklidisch sei. Eine hyperbolische Fläche könne den Widerspruch beseitigen. Das floss Kaluza leicht aus der Feder, denn als Mathematiker brauchte er ja keine Rücksicht darauf zu nehmen, ob es nichteuklidische Geometrie in der realen Welt denn überhaupt gäbe. Außerdem hatte man nun eine nichteuklidische Fläche in einem umgebenden euklidischen Raum. Das roch nach einem neuen Paradoxon. Oder sollte der umgebende Raum auch nichteuklidisch werden? Da man nicht so recht wusste, inwiefern das eine physikalische Erklärung sein konnte, trat für einige Jahre Ruhe ein. Aber das Stichwort war gefallen: nichteuklidische Geometrie und verbogener Raum.
Vielleicht wäre aber die ganze Diskussion ein Kuriosum geblieben, wenn nicht Einstein, nachdem er die Allgemeine Relativitätstheorie ausgearbeitet hatte, die rotierende Scheibe wieder hervorgeholt hätte. Es war wohl maßgeblich das Ehrenfest-Paradoxon, das Einstein veranlasst hatte, ab 1909 die Hände mehr und mehr von der Speziellen Relativitätstheorie zu lassen. Er sah, dass er sich im Niemandsland zwischen Schein und Wirklichkeit in unauflösbaren Widersprüchen verwickelte. Er musste seine Theorie so erweitern, dass Trägheitskräfte und gravitative Kräfte zusammenfielen. Damit begab er sich in ein äußerst schwieriges Gelände nichteuklidischer Geometrien, in dem die Grenzen zwischen nahezu unlösbarer Mathematik, Physik und Ontologie verflossen. Er quälte sich schlimm damit ab. Nach fünf Jahren geistiger Marter schien Einstein um zwanzig Jahre gealtert, und am Ende kam ihm David Hilbert dann mit den korrekten Feldgleichungen noch um einige Tage zuvor. (Ohne die Hilfe der genialen Emmy Noether hätte er es vielleicht nicht geschafft. Emmy Noether mokierte sich über die Göttinger Mathematiker, die schwierigste Berechnungen für Einstein ausführten, aber nicht wüssten, wozu das dienen sollte. Ab 1913, nachdem Hilbert sich ebenfalls in die ART vertieft hatte, zog er „Fräulein Noether“ immer mehr für die komplizierten Variationsrechnungen heran.)
Immerhin: in der neuen ART war die Fliehkraft auf einer rotierenden Scheibe nun äquivalent zur Gravitation und beide wiederum zu Scheinkräften degeneriert. „Äquivalent“ ist sprachlich ein unscharfer Ausdruck, was in solchem Terrain aber von Vorteil ist. Würde man sagen, dass Gravitation und Trägheitskraft „gleich sind“, hätte man sofort ein Problem. Denn die Gravitationskraft ist grundsätzlich auf ein Zentrum gerichtet, und verursacht daher bei ausgedehnten Objekten Gezeitenkräfte. Die Trägheitskraft in einer beschleunigten Rakete ist aber gezeitenkräftefrei. Mit anderen Worten: ein derartiges Trägheitsfeld ist homogen, ein Gravitationsfeld grundsätzlich nicht. Mit geeigneten Messgeräten kann ein Raumfahrer in einer geschlossenen Rakete daher prinzipiell unterscheiden, ob die Rakete auf einem Planeten steht oder konstant im Raum beschleunigt. Aus dem gleichen Grund würde er auch entscheiden können, ob es sich um Gravitation oder Fliehkraft handelt. Die Kraftlinien der Gravitation sind konvergent, die der Fliehkraft divergent. (Auch in einem beschleunigenden Raumschiff kann man erkennen, ob es die Triebwerke sind, die das Schiff beschleunigen oder ob eine ferne Masse gravitativ einwirkt. Im letzteren Fall vergrößert sich die Beschleunigung quadratisch mit wachsender Annäherung.)
Äquivalenz soll daher bedeuten, dass in infinitesimal kleinen Raumbereichen die Gravitation als gezeitenfrei angesehen werden kann. Aber: mit verschwindend kleinen Distanzen kann man in der Infinitesimalrechnung zwar operieren, in der Physik gibt es aber derartige Bereiche nicht. Gäbe es z.B. punktförmige Massen, könnte man aus ihrer gravitativen Anziehung unendlich viel Energie gewinnen. Die Relativitätstheorie verliert in einer „Singularität“ ihre Gültigkeit ebenso wie das Äquivalenzprinzip. Um also nicht über die leidigen Infinitesimale argumentieren zu müssen, spricht man in Umkehrung lieber von einem „homogenen Gravitationsfeld“, das aber auch nicht von dieser Welt ist.
Druckansicht
Wiederholung, weil es so schön ist.
Ein Bild, schön, aber falsch:
http://members.chello.at/....bednarik/ERDNUS-5.jpg
Das Ehrenfestsche Paradoxon:
Eine rotierende Scheibe ist kein Inertialsystem. Daher kann
man auf sie nicht die Spezielle Relativitätstheorie anwenden.
Falls man dennoch die Lorentzkontraktion berechnet, verkürzt
sich der Umfang der Scheibe bei gleich bleibendem Radius.
Das hier dargestellte Bild ist also physikalisch falsch.
Die richtigen Ergebnisse zur rotierenden Scheibe liefert nur die
Allgemeine Relativitätstheorie mit Hilfe der Raumkrümmung.
v bedeutet die Umfangsgeschwindigkeit der Scheibe, und
c bedeutet die Lichtgeschwindigkeit.
Wie soll man einen ideal starren Körper beschleunigen können?
Ist in einem ideal starren Körper die Schallgeschwindigkeit unendlich gross?
Verstösst das nicht gegen die allgemeine Relativitätstheorie?
Völlig ohne Bezug auf den Inhalt des Beitrags (den ich aber gelesen habe, erlaube ich mir hier einen Gruß da zu lassen.
Die Antworten dazu sind ziemlich offensichtlich:
1. Ein absolut starrer Körper wäre auch unendlich spröde. Die kleinste Krafteinwirkung müsste zu einer (völlig absurden) unendlichen Beschleunigung und damit zur Zerstörung führen.
2. Schall ist die wellenförmige Ausbreitung einer elastischen Verformung. Ein starrer Körper kennt keine Verformung und kann daher keinen Schall leiten. Weder langsam noch lichtschnell.
3. Die ART kennt keine Obergrenze für c. Die stammt allein als Ausgangshypothese aus der SRT.
Die Diskussion um einen hypothetischen starren Körper ähnelt der Diskussion um die berühmte Großmutter. Wenn sie Räder hätte, wäre sie dann ein Omnibus?
Sehr geehrte Forumsteilnehmer!
"1. Die kleinste Krafteinwirkung müsste zu einer (völlig absurden) unendlichen Beschleunigung und damit zur Zerstörung führen."
F=ma, oder? Newton ist doch von starren Körpern ausgegangen. Unendliche Beschleunigung, grübel ... Wenn man in Gedanken zunächst auf einen sehr weichen Körper eine kleine Kraft einwirken lässt und lässt den Körper dann immer härter werden, dann verkürzt sich die Zeitspanne, ab der der Schwerpunkt des Körpers beschleunigt wird, oder?
Wie sieht eine schnell rotierende Scheibe denn nun wirklich aus? Was ist von dem Experiment von Thomas Phipps zu halten, der keinen Effekt messen konnte? Gibt es andere Experimente zum Ehrenfestschen Paradoxon?
mfg
Luchs
Da hat doch Admiral Graf Frederik von Hombug einen supra-starren Draht von der Erde nach Proxima Centauri-IV verlegt.
Ein mal klopfen bedeutet: "Wruks im Anflug", und zwei mal klopfen bedeutet "Sofort zuschlagen".
Man kann doch im modernen interstellaren Krieg nicht auf die fürchterlich langsame Lichtgeschwindigkeit vertrauen.
Ja, guter Punkt, hier einzuhaken, denn da habe ich mich zugegebenermaßen ziemlich drübergehudelt. Die Rechtfertigung nahm ich daher, dass es so völlig starre Körper eh’ nicht geben kann. Also hier mein Gedankengang in Langversion. Wir betrachten den Zusammenstoß zweier absolut starrer Kugeln im Vergleich zu normalen Stahlkugeln.
Der Zusammenstoß zweier elastischer Körper wird in den Lehrbüchern ohne Beachtung des Kraftgesetzes durchgeführt, weil es dann rechnerisch einfach wird. Man sagt, dass der Impuls des Systems und die Energie erhalten bleiben. Daraus folgt, wie die Kugeln voneinander abprallen. Man kann sie sich daher als normal „starre“ Körper denken, die irgendwie elastisch sind, denn man steigt nicht in die Feinmotorik der Kraft ein und betrachtet nicht, wie genau und in welcher Zeit der Verformungsvorgang abläuft. Im Falle völlig starrer Körper müssen wir aber die Kraftentwicklung betrachten.
Also: was passiert beim Zusammenstoß normaler Kugeln? Sie stoßen aufeinander und beide verformen sich. Aus dem Aufprallpunkt wird eine kleine Aufprallfläche. Die kinetische Energie wird nach einem irgendwie gearteten modifizierten Hookeschen Gesetz in den gestauchten atomaren Bindungen der Eisenatome als potentielle Energie gespeichert. Dann tritt die Rückfederwirkung ein, die potentielle Energie wird wieder zu kinetischer Energie und die Kugeln fliegen unter Impulserhalt (=Erhalt des gemeinsamen Schwerpunkts) wieder auseinander.
Nun die starren Kugeln. Sie berühren sich beim Zusammenprall in einem Punkt, aus dem keine Fläche mehr werden kann. Alles ist starr. Jetzt wird die kinetische Energie in einem Punkt frei. Energie ist Kraft * Weg, E = F * r. Die Strecke r ist der Weg, auf dem die kinetische Energie E = ½ mv2 in potentielle Energie umgeformt werden muss. Diese Strecke r ist im Falle völlig starrer Körper aber gleich Null, so dass F über alle Grenzen wächst. Nach F = m * b wächst aber auch die Beschleunigung b über alle Grenzen. Soweit mein Gedankengang aus meinen ersten Kommentar.
Was passiert mit den Kugeln jetzt? Das ist sehr unübersichtlich, denn die unendliche Beschleunigung induziert auch eine unendliche gegengerichtete Trägheitskraft. Die gesamte Kugel kann also natürlich wegen der Massenträgheit keine unendliche Geschwindigkeit annehmen. Aus der Energie muss also irgendetwas werden. Wärme kann keine entstehen, denn das wäre interne Bewegung von Atomen, die der Starrheit widersprechen. Also kann die unendliche Kraft im Auftreffpunkt wegen der unendlichen Sprödigkeit dieser Körper nur zur Zerstörung führen (vorausgesetzt man macht die Atombindungen dieser starren Körper nicht unendlich stark, was sie aber wegen der postulierten Starrheit eigentlich sein müssten).
Man sieht hier m.E., dass wegen der auftretenden Unendlichkeiten die Standardgesetze der Physik zusammenbrechen und keine Aussage zulassen. Das ist m.E. aber auch egal, denn solch starre Körper wird ohnehin nie ein Mensch sehen.
Zum Versuch von Phipps: mir sind keine anderen Versuche in dieser Richtung bekannt.
Wie sieht eine schnell rotierende Scheibe in der Realität aus? Sie dehnt sich bei zunehmender Fliehkraft so lange, bis sie auseinander fliegt. Soweit mir bekannt, hat nie jemand irgendetwas anderes beobachtet.
Bevor noch einige durchaus berechtigte Fragen aufkommen:
Admiral Graf Frederik von Hombug verwendete alleine zum Zwecke der Tarnung nur natürliche Gegebenheiten.
Die meisten Materialien durchlaufen kurz vor dem absoluten Temperatur-Nullpunkt eine Transformation zu einem ideal starren Zustand.
Die Schattenseite von Eris (136199), die früher und auch wesentlich schöner Xena geheissen hatte, war dafür kalt genug.
Natürlich konnte man nun das Kabel nicht direkt mit Proxima Centauri-IV verbinden, denn dieser läuft völlig anders herum.
Aber in der Nähe Proxima Centauri-IV gibt es noch eine Weltraumfestung der Todeslegion.
Wie wir alle wissen schuldet die Todeslegion Graf Frederik von Hombug noch einige Gefälligkeiten.
Eine kurze Zwischenbemerkung zu:"Die meisten Materialien durchlaufen kurz vor dem absoluten Temperatur-Nullpunkt eine Transformation zu einem ideal starren Zustand."
Die Quantenmechanik verbietet das. Auch am absoluten Nulpunkt müssen Restschwingungen bleiben (Stichwort: Nullpunktsenergie).
Naja, das kriegen wir mit der Laserkühlung schon irgendwie hin.
Admiral Graf Frederik von Hombug übernimmt wie immer keinerlei Haftung für die globalen Nebenwirkungen.
Selbstverständlich Xena:
http://www.e-stories.de/...geschichten.phtml?22381
Stimmt, Laserkühlung könnte irgendwie gehen. Wenn man als unvorbereiteter Leser überlegt, was Xenas Chakram sein soll, könnte man allerdings auf noch delikatere Gedanken kommen.
Sehr geehrter Herr Herrig!
Starre Scheiben drehen nicht, weil wenn man sie anstößt, dann zerspringen sie.
Muss man die denn anstoßen? Wie wäre es mit einer starren Scheiben aus einem Permanentmagneten in Kombination mit Spulen, durch die GANZ langsam ein größer werdenden Strom geschickt wird? Dann müsste man eine Grenzwertbetrachtung durchführen, oder? Und vor einem Zerspringen würde wohl die QM retten.
Könnte es nicht ein unverformbares Elementarteilchen in der Größe eines ganzzahligen Vielfachen der Planckschen Elementarlänge geben? Falls ja, wäre mit der Unverformbarkeit bewiesen, dass das Teilchen nicht zur Rotation gebracht werden kann?
"Zum Versuch von Phipps: mir sind keine anderen Versuche in dieser Richtung bekannt."
War denn die Scheibe von Phipps schnell genug, dass er gemäß der ART einen Effekt hätte messen müssen? Wie hätte denn dieser Effekt gemäß der ART aussehen müssen? Bei welcher Geschwindigkeit hätte gemäß Materialwissenschaft und ART die Scheibe zerspringen müssen? Die Rotation und der Zusammenhalt von Galaxien legt die Existenz von Dunkler Materie nahe, oder dass etwas mit der ART nicht stimmt. Was kann uns die Rotation einer Laborscheibe über die ART mitteilen?
mfg
Luchs
Das sind weitreichende Fragen, über die man wieder ganze Bücher verfassen könnte. Deshalb hier nur eine Antwort in Bezug auf die rotierende Scheibe. Die anderen Fragen sollen in den „Briefen“ noch angesprochen werden.
Das Problem bei einer aus Borns starrem Körper irgendwie gefertigten rotierenden Scheibe ist, dass Born in seiner Definition der Starrheit keine rotatorischen Freiheitsgrade vorgesehen hat. Daher kann ein Bron-starrer Körper kein rotierendes Gebilde sein. Unabhängig davon führt die Anwendung der relativistischen Gleichzeitigkeitskonvention auf die einzelnen Punkte der rotierenden Scheibe zu Widersprüchen in sich selbst. Das hat Wolfgang Pauli 1921 herausgefunden. Er schloss aus seinen Rechnungen: „Ein einfaches Beispiel von Ehrenfest zeigt aber, dass ein starrer Körper (Born-Starrheit) nicht in Bewegung gesetzt werden kann.“ Es geht daher nicht um eine geeignete Beschleunigungstechnik. Aber was soll’s? Es gibt nun mal keine starren Scheiben. Weder im Sinne Borns als auch sonst. Kann ein Engel auch ohne Flügel fliegen?
Die Überlegungen zu Phipps Versuchen sind ebenso kompliziert wie hypothetisch. Sie gehen wohl auf ein Argument von Grÿn zurück, wonach ein kovariantes Hookesches Gesetz dazu führen könnte, dass sich die Radien einer rotierenden Scheibe spiralförmig aufwickeln. Das Ergebnis von Phipps Versuchen war trotz wochenlanger Rotation negativ. Was daraus folgt, mag jeder selbst beurteilen.
Die Längenkontraktion ist laut Einstein nur ein scheinbarer Effekt. Sie ist noch nie direkt gemessen worden, und wenn man das Michelson Morley-Nullresultat ohne Längenkontraktion erklären kann, was der Fall ist (siehe mein paper:
http://www.archive.org/...OfTheMass-energyRelation ) und das hat auch der SRT-Kritiker Paul Wesley so gesehen, dann braucht man sie auch gar nicht mehr und kann sie vergessen.
Grüsse, Hartwig Thim