Über die sprachliche Gleichheit
Schon früh lernen wir, dass zwei Äpfel und drei Äpfel fünf Äpfel sind. Kaum können wir schreiben und rechnen, wird dieses Wissen zu der Formel »2+3= 5« abstrahiert. Sie erlaubt es, einen Sachverhalt über Mengen auszudrücken, unabhängig davon, ob es sich um Äpfel oder Birnen handelt.
Allerdings wird dieser Abstraktionsschritt sehr verschieden verarbeitet. Die meisten unter uns finden mit dem erlernten Einmaleins die Gewissheit, eine höhere Wahrheit in Händen zu halten im Sinne von: „Solange zwei und zwei vier ist ...!“. Die Mathematik erscheint ihnen insgesamt als wahr - wird gerade dadurch aber zum Mysterium.
Anderen wird irgendwann bewusst, dass eine mathematische »Gleichung« lediglich eine sprachliche (semantische) Gleichheit feststellt. Mit ihr wird eine Aussage in eine andere, »gleich«-bedeutende übersetzt – und zwar genau. Was immer links von einem Gleichheitszeichen steht, sagt exakt dasselbe aus wie das, was rechts steht.
Was sagt z. B. »2+3« aus? Was bedeutet »2«? Das mathematische Zeichen »2« meint per Definition »1+1«. Bevor Sie ob meiner Wortspalterei die Hände über dem Kopf zusammenschlagen, überlegen Sie sich bitte, ob Sie eine bessere Bestimmung des Wortes »zwei« bzw. der Ziffer »2« finden. Entsprechend steht »drei« bzw. »3« für »1+1+1«. Haben sie Geduld, lieber Leser, ich bin gleich am Ende meiner grundlegenden Betrachtung dessen, was die Mathematik ausmacht: Der Ausdruck »2+3« lässt sich folglich auch schreiben als »1+1+1+1+1«, was wiederum nichts anderes ist als die Definition der Ziffer »5«.
Wir haben es also keineswegs mit einer höheren Wahrheit im Sinne einer Erkenntnis der Wirklichkeit zu tun, sondern lediglich mit einer Umformulierung innerhalb einer klar definierten Sprache: »zwei plus drei« bedeutet dasselbe wie »fünf«, Ende, basta – so banal ist das! Da hat niemand gemessen, experimentiert oder Daten erhoben. Hier wurde nur benannt und gefolgert.
Ach ja, natürlich mussten wir zuvor noch vereinbaren, was wir unter »1« (»eins«) und unter »+« verstehen wollen. Aber wenn wir das haben, rappelt die Zahlentheorie los – und mit ihr die gesamte Mathematik – auf den Gleisen der formalen Logik als ein beständiges Neuformulieren, Verkürzen und Strukturieren. So entsteht das Denkgebäude der Mathematik Gleichung um Gleichung und Satz um Satz.
Diese hier für das Argument zugespitzte Charakterisierung der Mathematik soll also auf Folgendes hinweisen: Anders als die meisten unter uns glauben mögen, hält sich die Mathematik fern von der in den Wissenschaften sonst angestrebten Wahrheitsfindung. Sie beschränkt sich auf Aussagen der Form „wenn ... wahr ist, dann ist auch ... wahr“. Wenn du fünf Äpfel hast, dann kannst du auch behaupten, du hättest zwei Äpfel und nochmal drei Äpfel (oder neun weniger vier). Für viele reale Situationen ist das äußerst praktisch. Aber ob du wirklich fünf Äpfel hast, interessiert den Mathematiker nicht.
Insofern ist die Mathematik sehr nützlich, wenn auch nicht immer leicht verständllich.
Das hat sie mit anderen Sprachen gemein.
Schauen Sie sich spaßeshalber einmal die folgende Gleichung an:
eiπ = -1
In Worten steht da: „Anstelle von » e hoch i mal π « kann man auch »-1« sagen“. Hätten sie das gedacht? Verstehen Sie das? Manche Mathematiker können sich an dieser Gleichung wegen ihrer Schönheit gar nicht satt sehen.
Und Sie? Angenommen Sie kennen die Definitionen von e, i und π als »irrationale« bzw. »imaginäre« Zahlen (siehe Anmerkung unten), dann könnte man Ihnen Schritt für Schritt die Gleichung herleiten. Ob sich anschließend in Ihrem Kopf eine Vorstellung entfaltet, die eine Brücke zu
»-1« zu schlagen vermag, ist eine andere Frage. Mir ist das bei aller intimen Kenntnis der beteiligten Zahlen bisher nicht gelungen. Trotzdem darf man jederzeit den einen Ausdruck in den anderen gewissermaßen blind übersetzen.
Da fragen wir: "Zu wessen Nutzen?" Klar ist, dass jemand, der versteht, was »-1« bedeutet, wenig davon hat, wenn ihm ein mathematischer Schlaumeier verkündigt:
„Das ist doch dasselbe wie eiπ.“
Sollte aber eines Tages ein Ingenieur, der π für jedes kreisförmige Objekt braucht, auf einen Physiker treffen, der i für nahezu jede Berechnung der komplexen Welt benutzt, und sollten sich dann noch Biologen, Wirtschafts- und Sozialwissenschaftler dazugesellen, für die e die Kerngröße aller Wachstumsvorgänge ist – wenn also solch unterschiedliche Wissensleute zusammenkommen sollten und vielleicht feststellten, dass Ihre Welten über eiπ miteinander verknüpft sein könnten, dann hätte der Mathematiker einen großen Auftritt mit der Bemerkung: „Warum so kompliziert? Ihr meint in eurer Wirklichkeit »-1«, in Worten »minus eins«!“
Dieser Fall ist so bisher wohl nicht geschehen. Aber unabschätzbar viele ähnliche Fälle. Bei ihnen war die jeweilige Übersetzungsleistung der formalen Sprache „Mathematik“ hochwillkommen – Einstein konnte ein Lied davon singen. Der Mathematiker glänzt dann wie jeder andere Sprachkünstler, sei er Festredner, Poet oder Dolmetscher, dem es gelungen ist, diffizile Gedanken treffender, kürzer und genauer auszudrücken – vorausgesetzt seine Sprache ist reich genug!
Wäre zu diskutieren, wie reich die Sprache der Mathematik ist. Das werde ich in einem zweiten Artikel in ein paar Tagen hier an gleicher Stelle tun. Bis dahin mag ich Ihnen die Beiträge der Kollegen in unserem
Bloggewitter: Mathematik/Sprache/Wissenschaft
empfehlen.
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Anmerkung
i = √-1, Wurzel aus -1 ist eigentlich nicht vorstellbar. i ist aber als Einheit der »imaginären« Zahlen sehr wichtig.
e = 2.718 ... , π = 3,141 ... , (es folgen jeweils unendlich viele Stellen). Die „Euler’sche Zahl“ e und die „Kreiszahl“ π sind beide „irrational“ und „transzendent“. Schade, dass der „Goldene Schnitt“ g = 1,6180 ... nicht auch noch in der Formel vorkommt. Das würde die Schönheitsdiskussion anfachen, zumal g maximal „irrational“ ist, d. h. irrationaler geht’s nicht.
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Hallo Werner,
Du schreibst:
"Mir ist das bei aller intimen Kenntnis der beteiligten Zahlen bisher nicht gelungen."
Ich lese die Gleichung so:
Wenn Du Dich umdrehst, schaust Du in die andere Richtung.
Vielleicht hilft Dir diese in Worten gepackte "Gleichung".
Für alle die keine intime Kenntnis der beteiligten Zahlen haben:
Jede Zahl hoch Null ist 1, so auch e hoch Null.
e hoch Pi ( oder besser e hoch (0+Pi) ) ist eine Drehung um Pi (180 Grad), also minus 1.
Ist eigentlich ganz einfach und doch wieder nicht ;-) Deswegen ist die Gleichung ja so schön!
Liebe Grüße,
Markus
Was ist eine mathematische Gleichheitsbehauptung, die sich des "="-Zeichens bedient? Eine Identitätsbehauptung? Oder eine Behauptung der Gleichheit gewisser Aspekte beider Seiten der Gleichung?
Danke für die gute erläuterung. Wie immer in der Mathematik führen viele Wege zur Einsicht in eine Gleichung. Auch in diesem Fall. Es gibt wunderbare Erklärungen und Veranschaulichungen für die vorliegende Formel im Netz. Man braucht in Google z. B. nur einmal "e hoch i mal pi" einzugeben. Dennoch erweist sich m. E. bei Formeln dieser Abstraktheit die Vorstellungsbrücke immer wieder als schwer gangbar, gerade wegen ihrer Kürze und Eleganz.
Nur zum Verständnis: Was meinen Sie mit maximal irrational?
Der goldene Schnitt ist selbstverständlich irrational aber nicht transzendent wie e und pi, sondern algebraisch. Er ist sogar konstruierbar, in dem Sinne, dass man ihn mit Zirkel und Lineal konstruieren kann.
a = a ist eine Identitätsbehauptung
a = b ist eine “Behauptung der Gleichheit gewisser Aspekte“,
wobei die jeweiligen Aspekte in der Mathematik ziemlich genau festgelegt werden, genauer zumindest als in den meisten anderen Sprachen.
Im Falle von a = b muss (anders als bei a = a) selbstverständlich gut definiert sein, was a und b bedeuten (z. B. durch die Zuweisung als Element einer Menge). Falls man Lust verspürt, diese Frage weiter zu treiben, bedenke man, dass die Mathematik eine deduktive Wissenschaft ist mit einem notwendigen Satz an Axiomen und einer hinreichenden Menge an Schlussregeln, die einige Kriterien erfüllen müssen, zum Beispiel die der Widerspruchsfreiheit. Im Grunde kann man sich seine eigene Mathematik basteln. Die Frage ist, wie fruchtbar gestaltet sie sich im Sinne von: Wie aussdrucksstark ist sie. Aber so ist das nun mal bei Sprachen. Alemannisch funktioniert ja auch.
Der Punkt ist wohl, daß man nicht versuchen sollte, die einzelne Formel zu verstehen, sondern sich ganz allgemein eine anschauliche Vorstellung von komplexen Zahlen zu machen.
Die beste Vorstellung von einer komplexen Zahl z ist: sich anzuschauen, wie Multiplikation mit z auf der komplexen Zahlenebene wirkt.
Jede komplexe Zahl entspricht einer Drehstreckung der Ebene.
(e hoch i pi) entspricht der Drehung um pi, d.h. um 180 Grad.
Und das ist, wie der erste Kommentator schon gesagt hat, das selbe wie die Multiplikation mit -1: man dreht sich einfach in die entgegengesetzte Richtung.
“Irrationalität” bei Zahlen heißt “nicht rational”, also nicht als Bruch ganzer Zahlen zu schreiben. Populär ausgedrückt bedeutet das, dass eine irrationale Zahl nach dem Komma jedenfalls nicht aufhören darf, weil man sie sonst sofort als Dezimalbruch schreiben könnte: 1,618 = 1618/1000. Sie darf aber auch keine Periode haben, z. B. 1/3 = 0,3333...
Das führt zu der Frage nach Mustern. Gibt es bei pi oder g Muster in den unendlich langen Ziffernfolgen, die es mehr oder weniger wahrscheinlich erscheinen lassen, welche Ziffer auf die nächste folgt. In diesem Sinn sind die Folgeziffern von g aus der Kenntnis der Vorgängerziffern extrem unvorhersagbar, auch wenn sie letztlich determiniert sind.
Die meisten von uns halten die Gleichung 2+3= 5 für trivial, nicht aber e^(iπ) = -1.
Besteht Wesensgleichheit so muss man sich fragen ob beide Gleichungen gleichermassen trivial sind oder ob beide Gleichungen gleichermassen nicht-trivial sind.
Wenn man einen Analogie zu den gesprochenen und geschriebenen Sprachen ziehen will, so müsste man fragen, ob 2+3 beziehungsweise 5 Entsprechungen sind in der Art wie unterschiedlich formulierte Sätze, die aber das gleiche meinen.
Gefühlmässig sehe ich den Stellenwert der formalen Logik als den entscheidenden Unterschied zwischen natürlicher Sprache und mathematischer "Sprache". In der natürlichen Sprache spielen die Objekte meist eine wesentlich wichtigere Rolle als die Beziehungen zwischen den Objekten, während das in der Mathematik umgekehrt ist - aber vielleicht täusche ich mich da?
1+1 ist sprachlich nicht dasselbe wie 2. Mathematisch mag 1+1 die Definition von 2 ergeben. Doch daraus kann man noch keine sprachliche Gleichheit herleiten. Genau so wie Hund nicht dasselbe wie Köter bedeutet, auch wenn das bezeichnete Objekte in beiden Fällen identisch sein sollte.
Martin Holzherr:
In der Linguistik wird die natürliche Sprache durchaus mathematisch betrachtet. Ex(r, Ex(j, lieben(r, j)) kann durchaus als die Semantik des Satzes "Romeo liebt Julia" betrachtet werden. Im Allgemeinen kann sehr viel der natürlichen Sprachen in Prädikatenlogik ausgedrückt werden. Zusammen mit dem Lambda-Kalkül reicht das bereits aus um in begrenztem Umfang einen Computer etwas "verstehen" zu lassen. Meine Abschlussarbeit bestand zum Beispiel aus einem Dialogsystem, das einen deutschen Satz entgegennahm, in eine prädikatenlogische Repräsentation übersetzte, mit einer Datenbank die Belegungen heraussuchte, die den Satz wahr machten und mit Hilfe der Repräsentation und den Belegungen einen Antwortsatz generierte. Also nach dem Schema:
Wer entdeckte den Planeten Uranus?
qu(x, ex(y, planet(y, uranus) und entdecken(x, y)))
Dann wird nach einer Belegung für x gesucht, die die Formel wahr macht, was z. B. ex(x, ex(y, astronom(x, galileo) und planet(y, uranus) und entdecken(x,y))) ergibt. Und daraus wird die Antwort "Der Astronom Galileo entdeckte den Planeten Uranus" berechnet.
Das ist natürlich stark vereinfacht. Allerdings sieht man dennoch, wie natürliche Sprache auch mathematisch ausgedrückt werden kann.
Der Grund, warum man das in der Linguistik gerne tut, ist der, dass die Mathematik hier eindeutig ist und z. B. die Darstellung von Mehrdeutigkeiten bzw deren Auflösung erlaubt. So hat der Satz "Alle Männer lieben eine Frau" genau zwei Lesarten:
- all(m, mann(m) -> ex(f, frau(f) und lieben(m, f)))
aber auch
- ex(f, frau(f) und all(m, mann(m) -> lieben(m, f)))
Man könnte jetzt noch sehr viel darüber schreiben und z. B. auf die intensionale Semantik von Montague eingehen, aber die Grundidee ist wohl gezeigt: So grundverschieden sind natürliche Sprachen und formale Logik nicht.
Für wie trivial wir eine Gleichung halten hängt im Wesentlichen davon ab, wieviele Übersetzungsschritte wir machen müssen, bis wir den Ausdruck auf eine uns verständliche Form oder gar auf die Ebene der nackten Definitionen gebracht haben.
Bei 2 + 3 = 5 ist dieser Weg kurz, deshalb habe ich das Beispiel angeführt. Ich konnte in zwei Schritten die Aussage auf die Definition der 5 zurückführen (5 = 1+1+1+1+1).
Bei e^(iπ) = -1 ist der Weg viel länger. Wie wir an den Erklärversuchen von Thilo und Markus Dahlem sehen, muss man zumindest weitere mathematische Vokabeln für die Zwischenschritte einführen, z. B. die Multiplikation von komplexen Zahlen, die gemeinhin schwerer vorzustellen ist, als Thilo uns glauben macht, Gauß ich hör dich lachen.
„1+1 ist sprachlich nicht dasselbe wie 2“.
Klar. Zum Beispiel unterscheidet es ich in der sprachlichen Form. Ein wenig vorausschauend auf dieses Argument habe ich in meinem Satz „dass eine mathematische Gleichung lediglich eine sprachliche (semantische) Gleichheit feststellt“ die Klammer gesetzt.
Niemand, der weiss, was unter „Hund“ und unter „Köter“ zu verstehen ist, würde das in
Hund = Köter
übersetzen. Aber die Mathematik hat Vokabeln, um das auszudrücken: Die Menge {Köter} ist echte Teilmenge der Menge {Hund}. (Ich kenne mindestens einen Hund, der kein Köter ist!)
Ansonsten: Da haben Sie aber eine mühsame Abschlussarbeit geschrieben: Hut ab!
(Ich musste Gödels Beweis formal durcharbeiten.)
"muss man zumindest weitere mathematische Vokabeln für die Zwischenschritte einführen, z. B. die Multiplikation von komplexen Zahlen, die gemeinhin schwerer vorzustellen ist, als Thilo uns glauben macht, Gauß ich hör dich lachen."
Klar, wenn man es verbal versucht, wie wir oben, klingt es kompliziert. Statt mit Vokabeln sollte man es besser mit Bildern versuchen:
eine komplexe Zahl z hat einen Betrag r (den Abstand von Null) und einen Winkel phi (zur x-Achse). (Wenn man unbedingt eine Formel will: z = r e ^(i phi).)
In diesem Bild ist Multiplikation komplexer Zahlen ganz einfach: Beträge werden multipliziert, Winkel werden addiert. (Und wenn man hier eine Tafel hätte, könnte man es anzeichnen statt es verbal zu beschreiben - dann sähe es wirklich einfach aus. Womit wir beim Thema der Artikelreihe wären - die Entwicklung der Sprache hinkt der Entwicklung des Denkens eben doch oft hinterher.) Die Formel für die Multiplikation komplexer Zahlen kannte man übrigens schon 100 Jahre vor Gauß - bei Moivre soll sie 1707 vorkommen.
Falls (was ich in diesem Fall eigentlich für wenig sinnvoll halte) lieber Formeln statt Bilder hat, hier noch der Link zur Formel (bei Wikipedia): de.wikipedia.org/wiki/Komplexe_Zahl#Exponentialform.
Ein Bild (und sogar ein interaktives Applet - man kann die Faktoren mit der Maus bewegen) findet man auf http://www.mathematik.uni-stuttgart.de/...ult.html.
Ich finde es schon seltsam, dass sich die Winkelfunktionen als komplexe Exponentialfunktionen auf Basis e zeigen. Auch wenn man das über den Vergleich der Reihenentwicklung der Funktionen nachvollziehen kann,ist mir der Grund dafür unverständlich geblieben.
Lieber Werner,
Du schreibst: "Dennoch erweist sich m. E. bei Formeln dieser Abstraktheit die Vorstellungsbrücke immer wieder als schwer gangbar, gerade wegen ihrer Kürze und Eleganz."
Da stimme ich Dir zu.
Der Abstraktheit wegen habe ich dann auch gleich das i in meiner Formel vergessen. So was wäre natürlich nicht so leicht bei verbalen Sätzen (geringer Abstraktion) gesehen.
Im allgemeinen sind wohl Vorstellungsbrücken immer anfällig.
Frei nach Busch:
Abstaktion gar nicht träge, sägt heimlich mit der Säge, Ritzeratze! voller Tücke, eine imaginäre Lücke in die Vorstellungsbrücke.
Das ist der Knackpunkt. Da sind wir uns einig.
Tatsächlich habe ich das Beispiel e^(iπ) ja gewählt, um zu zeigen, dass sich einerseits der Ausdruck elegant in -1 übersetzen läßt, dass aber andererseits die Übersetzungsleistung nicht einfach nachzuvollziehen ist. Gerade wenn ich eine knappe mathematische Herleitung habe (Zeile für Zeile von der Form: „folglich gilt“), bei der jeder einzelne Schritt logisdch begründet ist, wird die gesamte Gedankenkette damit noch lange nicht vorstellbar und transparent. Insbesondere dann, wenn wie im vorliegenden Fall die beteiligten Größen, etwa e, in mir Assoziationen und Bedeutungen aus anderen Zusammenhängen aufrufen.
@Werner Große:
Ich weiß, was unter Hund und unter Köter zu verstehen ist und ich würde es sehr wohl gleichsetzen. Das ist aber auch ein zentraler Punkt: Die Interpretationsfunktion ist weder zeitlich stabil, noch in allen Situationen gleich und erst recht nicht bei jedem Individuum. Ich hatte das Beispiel Hund/Köter bewusst gewählt und auf einen bestimmten Hund begrenzt, um zu zeigen, dass die Semantik in der natürlichen Sprache nur unzureichend extensional interpretiert werden kann. Neben dem Denotat, der bezeichneten Sache, tritt immer auch die Konnotation. Hier gibt es auch Überlegungen, dass es keine echten Synonyme gibt. Dazu hat Prof. Stefanowitsch in seinem Sprachblog schöne Beispiele recherchiert, wonach Anglizismen nie Bedeutungen duplizieren, sondern sich im Vergleich zu den deutschen Begriffen spezialisieren. Jetzt wird es aber sehr haarspalterisch. Kurz gesagt hat mich nur gestört, dass Sie die natürlichsprachige Semantik auf die reine extensionale Interpretation beschränkt haben. Das war im Grunde auch schon mein ganzer Einspruch ;-)
"wenn wie im vorliegenden Fall die beteiligten Größen, etwa e, in mir Assoziationen und Bedeutungen aus anderen Zusammenhängen aufrufen"
Ja, ich denke, das ist der springende Punkt: um Mathematik zu verstehen, braucht man die "richtigen" Assoziationen (und darauf aufbauend möglichst auch richtige Begriffe, d.h. Wörter) - und die richtigen Assoziationen sind nicht immer die "natürlichen".
Die natürlichen Assoziationen sind natürlich nicht falsch - aber sie helfen meist nur begrenzt beim Verständnis tieferliegenderer Zusammenhänge. (Ich hoffe nur, Frau L. liest hier nicht mit.)
Welche Assoziationen die "richtigen" sind, weiß man natürlich immer erst im nachhinein, wenn man sich entweder selbst lange mit dem Thema beschäftigt hat oder auf den Erkenntnissen anderer aufbauen kann.
Also beziehen sie sich mit maximaler Irrationalität auf die angenommene Normalität. Da diese weder in Bezug auf pi noch auf den goldenen Schnitt bewiesen wurde würde ich Ihre Aussage an dieser Stelle einschränken.
Weiter kann ich ohne auch nur eine Ziffer der Nachkommadarstellung des goldenen Schnittes genau sagen, welche Zahl an welcher Stelle der Dezimalbruchentwicklung steht, sie ist nämlich wie pi berechenbar (was sie vermutlich mit determiniert meinen, wobei ich diesen Begriff so nicht verwenden würde).