Der sprachliche Reichtum der Mathematik
... doch der zweite folgt sogleich. Nach der sprachlichen Gleichheit, hier nun die Fortsetzung:
„Alles ist Zahl“, sagte Aristoteles. Und Galilei, der ansonsten Aristoteles’ Weltbild weitgehend stürzte, schlug in dieselbe Kerbe: „Die Philosophie steht in diesem großen Buch geschrieben, dem Universum, das unserem Blick ständig offen liegt. Aber das Buch ist nicht zu verstehen, wenn man nicht zuvor die Sprache erlernt und sich mit den Buchstaben vertraut gemacht hat, in denen es geschrieben ist. Es ist in der Sprache der Mathematik geschrieben, und deren Buchstaben sind Kreise, Dreiecke und andere geometrische Figuren, ohne die es dem Menschen unmöglich ist, ein einziges Wort davon zu verstehen; ohne diese irrt man in einem dunklen Labyrinth herum.“ [1], [2]
Das nährt den Verdacht, dass schon vor uns große Geister auf den Gedanken gekommen sind, dass die Sprache der Mathematik hinreichen könnte zur Beschreibung der Welt, zumindest der natürlichen, worin auch immer die nicht-natürliche bestehen mag.
1988 hatte ich die Gelegenheit, den Mathematiker Benoit Mandelbrot in einem Filmdokument zu portraitieren (Interviewpartner H.-O. Peitgen). Darin führt er den oben zitierten Satz von Galilei gedanklich fort: „Es ist erstaunlich, wie weit die Wissenschaft mit dieser kleinen Sprache gekommen ist, lediglich bestehend aus Dreiecken, Kreisen und ähnlichen Figuren. Die fraktale Geometrie hat diesen einfachen Figuren viele weitere einfache Figuren hinzugefügt, die die Eigenschaft der Selbstähnlichkeit aufweisen, und so hat sich diese Geometrie heute zu einer sehr reichen Sprache entwickelt.“
Benoit Mandelbrot 1988 in dem Filmportrait
Das Zitat stammt aus der 31. Minute des Films
Foto: (c) Werner Große
Seither sehe ich die Welt neu. Blätter und Bäume beschreibe ich nicht mehr in der deskriptiven Sprache der biologischen Bestimmungsbücher, sondern in der Sprache Mandelbrots. Sie ist einfacher, genauer und obendrein schöner – wenn ich mir diese Bemerkung geschmacklichst erlauben darf.
Die Formen von Wolken, Gebirgen und Schneeflocken verstehe ich nun nicht mehr
als 1-, 2-, oder 3-dimensional,
also nicht mehr als ganzzahlig-dimensional,
sondern als gebrochen-dimensional.
Eine z. B. 1,2618-dimensionale Form sieht natürlicher aus als ein Kreis oder ein Rechteck [3]. Diese fraktale Beschreibungsweise ist unendlich vielfältiger und detaillierter (das „unendlich“ dürfen Sie wörtlich nehmen). In ihr lassen sich sogar Formen kreieren, die Mutter Natur bislang nicht erfunden hat, aber ohne weiteres hätte erfinden können.
Diesen fraktalen Farn hat mir vor 20 Jahren
mein Neffe zum Geburtstag gerechnet und geplottet.
Aber davon gibt es inzwischen viele
Ein Modehaus wird schlauerweise seine Frühjahrsfarben als Mint, Rosé oder Malve bezeichnen. Hinsichtlich des Stoff-Färbens oder des Katalog-Drucks werden sich die Fachleute aber Bezeichnungen bedienen, die den Ort einer Farbe im Farbraum präzise und damit reproduzierbar bestimmen. Geht es um die bunte Welt, sind Umgangssprachen gewiss mächtig (was ist eigentlich Pink?). Aber selbst eine Million Vokabeln würden nicht hinreichen, um alle vom Auge unterschiedenen Farben zu benennen. In der Sprache der Mathematik geht das. Auch mit jenen Farben, die das physiologische Auge nicht sieht, und selbst mit solchen, die die Instrumente der Physiker nicht erfassen: Ich rede von denkbaren Farben jenseits der naturwissenschaftlichen Wirklichkeit. Was würde wohl Goethe dazu sagen?
Das Beispiel soll zeigen, dass wirklich nichts dagegen spricht, Galileis oder Goethes und insbesondere Lagerfelds Universum in blumige oder schillernde Worte zu hüllen, solange sie hinreichen. Manchmal ist es jedoch sinnvoll, sich reicheren Sprachen zu bedienen als den natürlichen. Dass das notwendigerweise mit einem Verlust an Sinn einhergeht, scheint ein unausrottbares Vorurteil zu sein. Menschen, die nicht verfolgt haben, wie weit die mathematischen Ausdrucksmöglichkeiten seit Galileis Zeiten gediehen sind, sollten vorsichtig sein mit Aussagen über deren Weitreichigkeit.
Meine gewollt ambige Schlagzeile „Über die sprachliche Gleichheit“ habe ich eingangs auf das mathematische Gleichheitszeichen reduziert. Für die bisherige Diskussion war das nützlich. Nun möchte ich den Begriff wieder aufweiten.
Es könnte ja der Verdacht nahe liegen, dass die ach so exakte Mathematik zwar gut mit Identitäten umgehen kann, Zwischentöne, Stimmungen oder Metaphern aber nur schlecht erfasst. „Gleichheit“ hat aber auch Facetten wie Ähnlichkeit, Kongruenz, Entsprechung, Analogie etc., aber gerade diese Begriffe findet man in allen Ecken der Mathematik. Man bedenke, dass der Gegenstand von Geometrie, Algebra, Topologie, Arithmetik und allen anderen Teilgebieten vor allem Strukturen sind, und zwar Strukturen als solche, also die strukturellen Eigenschaften an sich. Man könnte die Mathematik geradezu als die Wissenschaft von den Strukturen bezeichnen bzw. als die Wissenschaft von den Abbildungen zwischen den Strukturen. Wer hier gedanklich eintaucht, mag schneller als andere sehen, wie potent gerade die Mathematik ist, Nuancen auszudrücken, mit denen sich natürliche Sprachen u. U. sehr schwertun.
Die Mathematik versucht also nicht, Wissen in den Naturwissenschaften zu generieren. Wohl aber im Bereich des wissenschaftlichen Formulierens. Mag sein, dass die Verwandtschaft von „Formulieren“ und „Formeln finden“ derzeit leicht übersehen wird. Für die Wissenschaftskommunikation der Zukunft ist sie aber von entscheidender Bedeutung. Zu Zeiten der textbasierten Medien (Buch, Zeitschrift) war der Unterschied zwischen Fließtext und Formelsprache bereits typografisch auf den ersten Blick auszumachen. Mit der Entwicklung der Bildmedien lösen sich diese Grenzen allmählich auf. Ob ein mathematischer Algorithmus, eine Realaufnahme oder eine künstlerische Gestaltung das Leinwandgeschehen bestimmt, ist mitunter nicht mehr zu sehen.
Ich bin weit davon entfernt, die Mathematik als die universelle Sprache preisen zu wollen. Auch will ich nicht die Diskussion in die Metamathematik treiben [siehe Anmerkung]. Hier geht es um Banaleres: In den verschiedenen Wissensgebieten wird – ich drücke das im obigen Sinn einmal sprachlich aus – sehr unterschiedlich gut „mathematisch“ gesprochen.
Das liegt selbstredend am jeweiligen Gegenstand, nach dem sich das Maß einer sinnvollen Abstraktion und Formalisierung zu richten hat. Allerdings haben die Fachgebiete dadurch tradierte Abstände zur Mathematik bezogen. Die Physik liegt ihr nah, die Kunst fern. Leider scheint dieser Zustand kulturell zementiert [4]. Schade, dass meine Kunstlehrerin nicht wenigstens etwas „mathematisch“ gesprochen hat, von meiner Deutschlehrerin ganz zu schweigen. Ich selbst habe als Lehrer 1972 in einem (Mädchen-)Gymnasium die Mathematik in solche Fächer zu tragen gewagt: Es geht!
Bleibt zu hoffen, dass der alte Graben zwischen den Geistes- und Kulturwissenschaften einerseits und den Natur- und Ingenieurwissenschaften andererseits langsam überwunden wird. Die Mathematik könnte dabei moderieren.
Anmerkung
Einen schnellen Überblick über die Verankerung der Mathematik in Philosophie und formaler Logik erhält man auf der Internetseite der Deutschen Mathematiker-Vereinigung
[1] Galilei, Galileo: Il Saggiatore,1623
[2] Spektrum der Wissenschaft Spezial 2/2008: Ist Mathematik die Sprache der Natur?
[3] Mandelbrot, Benoit: Die fraktale Geometrie der Natur, Birkäuser, 1987
[4] Enzensberger, Hans Magnus: Zugbrücke außer Betrieb oder die Mathematik im Jenseits der Kultur, u. a. in „Die Elixiere der Wissenschaft“, Suhrkamp 2002
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Nicht nur den naturwissenschaftlichen sondern auch Fächern wie Ökonomie, Psychologie (über die Statistik), Linguistik (Grammatik, statistische Verfahren für maschinelles Übersetzten) haben inzwischen einen mathematischen Unterbau erhalten.
Das kann seine eigenen Probleme schaffen. In der mathematischen Ökonomie (siehe http://en.wikipedia.org/.../Mathematical_economics) besteht die Gefahr, dass einer Theorie durch die mathematische Basis ein Grad der Fundiertheit und Sicherheit in ihren Aussagen verliehen wird, der gar nicht existiert.
Sicher gibt es auch sinnvolle mathematische Ansätze in der Ökonomie, die sind aber bis jetzt vielleicht noch nicht gefunden oder werden wegen Voreingenommenheit zu wenig verfolgt - ich denke etwa an Elemente der Chaostheorie.
Traditionelle Ansätze wie etwa das Black-Scholes-Modell waren in der jüngsten Vergangenheit sehr erfolgreich, aber doch der Materie nicht richtig angemessen, da ihnen das fraktale und chaotische der wirklichen ökonomischen Prozesse fehlt.
Was Pink ist? Guckstu hier:
http://blog.xkcd.com/...5/03/color-survey-results/
So ganz klar geworden, bin ich mir nicht, welche Position du nun eigentlich vertrittst. Du schreibst:
"Das nährt den Verdacht, dass schon vor uns große Geister auf den Gedanken gekommen sind, dass die Sprache der Mathematik hinreichen könnte zur Beschreibung der Welt, zumindest der natürlichen, worin auch immer die nicht-natürliche bestehen mag."
Bedeutet das, daß du dem Platonismus anhängst? (Bitte sieh in meinem blog nach für die Worterklärung.)
Ich bin übrigens deinem mathematik.de-link gefolgt und habe große Zweifel an der Richtigkeit der dortigen Aussagen. Aber da das ja nur ein link ist, kannst du selbst entscheiden, was wir davon hier diskutieren sollten und was nicht.
"Wer hier gedanklich eintaucht, mag schneller als andere sehen, wie potent gerade die Mathematik ist, Nuancen auszudrücken, mit denen sich natürliche Sprachen u. U. sehr schwer tun."
Ich bin sicher, daß Mathematik eine formalisierte Sprache in dem Sinne ist, als die Bildung neuer Ausdrücke allein strengen Syntaxregeln folgt. Aber deshalb würde ich nicht den Gegensatz zu einer natürlichen Sprache bilden. Das erscheint mir tendentiös und pejorativ. Extensionale, wahrheitsfunktionale Aussagen zu bilden, ist ein Teil der natürlichen Sprache, die viel reicher als die Mathematik ist. Weil wir aber eine Möglichkeit gefunden haben, die Bildung von bestimmtne (formalen) Aussagen so streng zu kontrollieren, kann Mathematik so Außerordentliches leisten.
Wie siehst du das?
Lieber Elmar,
weil zeitweilig aushäusig, komme ich erst jetzt zu einer Antwort und muss deine Fragen knapp und bündig beantworten, was aber keinen derben Zungenschlag bedeuten soll.
„Bedeutet das, daß du dem Platonismus anhängst?“
Ich beziehe da ja keine Stellung, sondern zitiere im Konjunktiv historische Verhältnisse. Dass ich hinsichtlich der von mir aus Deidesheim mitgenommenen Fragestellung (wie reich ist die Mathematik zur Beschreibung wissenschaftlicher Inhalte?) an Platon und ob ich ihm anhänge nicht interessiert bin, habe ich in deinem Blog beantwortet. Ansonsten habe ich meinen Artikel vor Helmuts Neudeutung unseres Themas (Bilder versus Formeln) geschrieben und ihm zur Kenntnis gegeben.
„Ich bin übrigens deinem mathematik.de-link gefolgt und habe große Zweifel an der Richtigkeit der dortigen Aussagen.“
Richtig: Hier verweise ich auf eine Quelle, die immerhin aus der Deutschen Mathematiker- Vereinigung sprudelt. Wenn du am Inhalt Zweifel hast, solltest du dich dahin wenden.
„Aber deshalb würde ich nicht den Gegensatz zu einer natürlichen Sprache bilden. Das erscheint mir tendentiös und pejorativ.“
Dich stört vermutlich mein Satz: „Manchmal ist es jedoch sinnvoll, sich reicheren Sprachen zu bedienen als den natürlichen.“ Ich denke aber, dass der Kontext klar stellt, in welchen Fällen ich die Mathematik für die reichere Sprache halte (z. B. hinsichtlich der Formulierung wissenschaftlicher Ergebnisse). Dem Satz geht unmittelbar vor: „Das Beispiel soll zeigen, dass wirklich nichts dagegen spricht, Galileis oder Goethes und insbesondere Lagerfelds Universum in blumige oder schillernde Worte zu hüllen, solange sie hinreichen.“
Und später schreibe ich z. B.:
„Ich bin weit davon entfernt, die Mathematik als die universelle Sprache preisen zu wollen.“
„Schade, dass meine Kunstlehrerin nicht wenigstens etwas „mathematisch gesprochen hat.“
Die Überschrift über meinem Beitrag „Eine reichere Sprache als die natürlichen“ stammt übrigens nicht von mir, sondern von der Redaktion der Gewitter-Seite. Meine Überschrift lautet „Der sprachliche Reichtum der Mathematik“. Insofern halte ich es nicht für dienlich, was da als Teaser steht.
Eine Sprache kann ja nur dann reichhaltiger als eine andere Sprache sein, wenn sie über Ausdruckmöglichkeiten verfügt, die die andere Sprache nicht hat. Zusätzlich impliziert "reichhaltiger" natürlich auch, dass die andere Sprache eine echte Teilmenge der fraglichen Sprache ist. Mathematik müsste also die natürlichen Sprachen enthalten und darüber hinaus gehen. Da Sie das ohnehin nicht behaupten, möchte ich nur kurz etwas zu dem "darüber hinaus" sagen. Denn letztlich ist es doch so, dass jeder mathematische Ausdruck auch sprachlich ist. Die mathematische Schreibweise ist prägnanter und übersichtlicher, auf das Wesentliche reduziert. Dennoch existiert für jeden mathematischen Ausdruck auch ein natürlichsprachiger. Da die natürliche Sprache das primäre Werkzeug bewussten Nachdenkens ist, erscheint das auch geradezu zwingend. Aus diesem Grund ist die mathematische Sprache eine echte Teilmenge der natürlichen Sprachen. Eine Teilmenge sogar, die eben durch die schon genannte Reduzierung(!) der Reichhaltigkeit natürlicher Sprachen so nützlich wird. Man hat es also mit dem exakten Gegenteil des Behaupteten zu tun: Mathematik ist nicht reichhaltiger, sondern weniger reichhaltig als natürliche Sprachen. Das ist es, was ihr die Präzision gibt und sie so nützlich macht.
Ich mag diesen Teil der Diskussion abkürzen, indem ich berechtigte oder auch nichtberechtigte Interpretationen meines Textes möglichst auf das lenke, was ich eigentlich gemeint habe:
1. Die Mathematik ist als Sprache nicht reicher/mächtiger als alle natürlichen Sprachen zusammen. Sie ist eine Teilmenge aller Sprachen. Sie ist eine von vielen Sprachen. Alles andere wäre eine Selbstüberschätzung der Mathematik.
2. Die Mathematik ist reicher/mächtiger als natürliche Sprachen hinsichtlich bestimmter Inhalte, insbesondere hinsichtlich der Ergebnisse von Wissenschaft (das war eigentlich unsere zentrale Fragestellung). Hier wird sie kräftig unterschätzt.
3. Es gibt viele Gebiete, auf denen es sehr viel nützlicher ist, eine natürliche Sprache zu sprechen. Die Mathematik kann natürliche Sprachen nicht ersetzen.
4. Meine Frage ist weitgehend frei von der allgemeineren Frage, woher Sprachen als solche kommen und wie weitreichig sie theoretisch sind. Ich verstehe aber, wenn das andere interessiert.
5. Mein Deutsch ist offenbar nicht hinreichend, um eindeutig zu formulieren. Andererseits hätte ich den Artikel schwerlich rein mathematisch formulieren können. Kommunikation bleibt lückenhaft, u. a. weil es keine ideale Sprache gibt.
Lieber Werner,
ich hab' Deinen zweiten Beitrag mit Freude gelesen, vor allem jene Passagen, in denen etwas durchscheint, was nicht (soweit ich weiss) Gegenstand der Mathematik ist: nämlich die Liebe zu ihr. Um so trauriger macht es mich, dass ich sie (die Mathematik) bestenfalls "zur Kenntnis nehmen" kann, wie eine Fremdsprache; so wie ich die Existenz des Chinesischen zur Kenntnis nehme, wissend, dass man damit Dinge tun kann, die mir mit meinen sprachlichen Mitteln zu erreichen verwehrt ist.
Nun ja.
Nachfragen aber möchte ich hier:
"Es könnte ja der Verdacht nahe liegen, dass die ach so exakte Mathematik zwar gut mit Identitäten umgehen kann, Zwischentöne, Stimmungen oder Metaphern aber nur schlecht erfasst. „Gleichheit“ hat aber auch Facetten wie Ähnlichkeit, Kongruenz, Entsprechung, Analogie etc., aber gerade diese Begriffe findet man in allen Ecken der Mathematik."
Das verstehe ich nicht. Da ist von Zwischentönen und Stimmungen die Rede. Ganz naiv nachgefragt: Wie drückt die Mathematik, die ja nach dem sich hier entwickelnden Konsens, eine "Sprache" sei (wie Du ja von Anfang an sagtest), jene aus?
Wie sagt man auf mathematisch zum Beispiel:
- "Ich habe Bauchweh."
Oder (das frug ich Elmar schon mal):
- wie macht man einen Witz?
Grüße
Helmut
Lieber Helmut,
Jetzt wird es schwierig.
Nehmen wir als Beispiel "Ich habe Bauchweh.".
Das kann ich nicht auf Mathematisch übersetzen. Weder gibt es in der Mathematik entsprechende Vokabeln, noch gibt es in der Mathematik den ausgedrückten Sachverhalt. Damit ist klar, dass die Mathematik Deutsch nicht ersetzten kann. Arme Mathematik! Man könnte aber eigens ein Zeichen für „Ich habe Bauchweh“ in die Mathematik einführen, sagen wir ع. Mathematiker dürfen so was machen. Man könnte ein weiteres Zeichen für den Satz „ich bin“ einführen, sagen wir שׂ. So würden wir Satz für Satz und Zeichen für Zeichen etwas bekommen, das dir so fremd ist wie chinesisch. Du langweilst dich? Ich auch, denn für solche Sätze brauchen wir keine weitere Sprache in diesem unseren Babylon, schließlich gibt es außer Deutsch und Chinesisch auch noch Kisuaheli und Kirgisisch.
Anders verhält es sich mit dem Satz „Ich habe Bauchweh, folglich bin ich“. Der wäre immerhin teilweise mathematisch auszudrücken. Die Grammatik ginge etwa so:
„Wenn ع dann שׂ“.
Allerdings haben die Mathematiker eigene Zeichen für „wenn“ und „dann“, damit man diese Ausdrücke präziser definieren und semantisch eindeutiger benutzen kann. Ich erspare dir aber die Hieroglyphen, glaub’s mir einfach.
Da nun beginnt die Mathematik als Sprache nützlich zu werden. Sie ist stark bei den logischen Prädikaten unserer Aussagen, die das Argument tragen und mit denen wir uns in den natürlichen Sprachen so schwer tun. Schau’ nur in die Diskussionen unseres Blog, schau’ Anne Will sonntags abends, geh zu den Biertischen …, dann ahnst du, was ich meine.
Wenn ich sage, die Mathematik sei reich, dann deshalb, weil es bei diesem „wenn-dann“ Beispiel nicht bleibt. Seit es Mathematik gibt, wird dieses System entwickelt. Enzensberger, sagt: „Jedenfalls sind die zeitgenössischen Leistungen auf diesem Gebiet sensationell. Die bildenden Künste, die Literatur und das Theater würden bei einem Vergleich, wie ich fürchte, ziemlich schlecht abschneiden.“
Du brauchst die Anwendungsbeispiele? Nimm deinen Disput mit Elmar. Schau, was ihr mit den Begriffen „Relation“ und „Funktion“ getrieben habt. Auf Mathematisch ist eine „Relation“ R zwischen zwei Objektmengen A und B eine Untermenge des Kreuzprodukts AxB der beiden Mengen. Eine „Funktion“ ist eine „Relation“ mit der Eigenschaft, dass aus aRb und aRc stets folgt b=c. Sorry, das eben war noch nicht sauber mathematisch (eher so was wie schwitzerdütsch), weil mir in dieser Schreibmaschine hier die nötigen Sonderzeichen fehlen. Du sollst ja nur einen Geschmack davon bekommen.
So unpraktisch diese gestelzte Sprache auf den ersten Blick aussehen mag, desto lohnender wird sie, je tiefer die Argumente, je dichter die logischen Verschlingungen, je komplexer die Zusammenhänge. Ich habe die Abhandlung von Gödel über die Unentscheidbarkeit in mathematisch gelesen. Es hat ein langes Semester gedauert. Hätte ich die Übersetzung auf Deutsch (die es aus gutem Grund nicht gibt) vorliegen gehabt, hätte ich Jahre gebraucht und wäre heute in der geschlossenen Anstalt.
Danke!
Ich versuche es mal "mathematisierend" (wahrscheinlich falle ich dabei auf die Nase):
Wenn es zutrifft (das wurde andernorts in diesem Gewitter gesagt, entschuldigung, ich vergass, von wem - Elmar?), also, wenn es zutrifft, dass sich alles, was man mathematisch sagen kann, auch in Alltagssprachen sagen lässt, und wenn es weiter zutrifft, dass man bestimmte Dinge, die man in der Alltagssprache alltäglich sagt, mathematisch nicht sagen kann - dann sagt mir meine Alltagslogik, dass man mit der Alltagssprache MEHR sagen kann als mit der Mathematik.
Nein, das ist KEIN Affront!
Kann ich - ohne irgendwem damit auf den Schlips treten zu wollen und ohne der Mathematik Gewalt anzutun - sie mir
als eine Art von "Esperanto" vorstellen, in dem sich Menschen (nicht aber Aliens und Menschen) weitgehend missverständnisfrei unterhalten können?
Und kann ich - um bei meinem Fach zu bleiben - mir vorstellen, dass die Mathematik zur Wirklichkeit etwa so verhalte, wie das Skalpell und die Pinzette zum Körper? Ein Werkzeug zur mikroskopisch genauen Zergliederung, aber ein Werkzeug eben, nicht der Gegenstand der Untersuchung?
Der Termin unseres Gewitters ist für mich denkbar ungünstig. Ich bin geistig schon wieder unterwegs und ausgebucht. Meine Antwort kann nocht vor Sonntag kommen. Geduld bitte bis dahin.
Danke.
Ich bin über's WE selber weg.
Ebbelwoi-Termin, wir brauchen einen Schoppen-Termin!
Grüße
Helmut
Die Aussage, dass Mathematik eine echte Teilmenge der natürlichen Sprache ist, stammt von mir. Und diese Aussage ist wunderbar zu falsifizieren. Man muss lediglich eine mathematische Formulierung finden, welche sich nicht in natürlicher Sprache ausdrücken lässt. Das Thema kann also sehr schnell geklärt werden.
Wir müssen uns nur noch darauf einigen, wann eine Äußerung als natürlich-sprachig gilt. Ich würde vorschlagen, dass wir vom Deutschen ausgehen. Eine Äußerung ist dann deutsch, wenn sie sich der strukturellen Merkmale des Deutschen bedient (insbesondere bei der Syntax, aber auch mindestens die Funktionswörter sollten lexikalisch und semantisch Standard-Deutsch sein) und wenn es theoretisch möglich ist, die Äußerung nur aufgrund von Deutsch-Kenntnissen zu verstehen. Das heißt vor allem, dass theoretisch keine mathematische Ausbildung notwendig ist. Die Äußerung ist dann natürlich auch entsprechend umfangreich - mathematische Notationen wurden eben nicht grundlos erfunden.
... und an die anderen Lieben auch!
Auch diese Diskussion spitzt sich so langsam auf ontologische Rechthabefragen zu. Deshalb möchte ich die Mathematik im Dorf lassen und nicht den Experten auf einem Gebiet spielen müssen, das ich nicht meinte. Meine Ausführungen entspringen meiner Ausbildung, meinen Lebenserfahrungen und meinem Denken, ich habe keine Habilitation für so etwas.
Anatol Stefanowitschs Definitionen von Wissenschaft und Mathematik entsprechen weitgehend dem, was ich mir über die Jahre selbst zusammengereimt habe (bei Popper folge ich ihm allerdings nicht). Ich bin kein wissenschaftstheoretischer Experte. Allerdings habe ich einen langen Weg hinter mir vom Mathematikstudium vor vierzig Jahren über zahlreiche Berufsfelder, die auf Metaebenen der Wissenschaft dienen und die alle etwas mit Kommunikation zu tun haben (Lehre jeder Art, Journalismus, Wissenschaftsredaktion, wissenschaftlicher Film etc). Dabei habe ich den jämmerlichen Zustand unserer Gesellschaft beobachtet, wenn es um die Mathematik geht. Die diesbezüglichen Missverständnisse und Borniertheiten liegen im Niveau weit unter dem, was ich einer Gesellschaft zugestehe, deren Erfolg weitgehend auf der Mathematisierung des Wissens fußt.
Stafanowitsch schreibt weiter: „Wissenschaftliche Modelle sollen die Wirklichkeit abbilden und dazu ist jede Sprache (Anm.: gemeint sind zunächst wohl die natürlichen) in gleicher Weise geeignet.“ So gesehen, versucht die Mathematik selbst keine wissenschaftlichen Modelle der Wirklichkeit hervorzubringen, sondern sie versucht, die Strukturierung und die Kommunikation wissenschaftlicher Modelle zu befördern (dass sie damit selbst zur Wirklichkeit wird, stört den Gedanken nicht, es sei denn man liebt es sophistisch). Das macht, verkürzt ausgedrückt, den Sprachcharakter der Mathematik aus, allerdings auch ihren formalen. Nun zielt die Mathematik keineswegs auf einzelne Fächer (in der Definition von Stafanowitsch), sondern betreibt ihr Metier zunächst nach eigenen Gesichtspunkten. (Dass einzelne Fächer die Mathematik zu verschiednen Zeiten verschieden nutzen, sagt noch nichts über ihre prinzipielle Verwendbarkeit aus.)
Die Frage, der ich hier nachging, war, ob denn die Mathematik als „formale“ Sprache zu den Sprachen zählt, die im oben zitierten Sinn hinsichtlich der Wissenschaft in gleicher Weise geeignet sind (klar gehen Gedichte in Deutsch besser, aber das war nicht die Frage). Für meine Formulierungsversuche übernahm ich von anderen den Ausdruck „Reichtum von Sprachen“. Mein Ergebnis lautet: Die Mathematik ist reich genug, um Wissenschaft zu kommunizieren (mag da noch jemand widersprechen?). Da sie speziell für diesen Zweck gemacht ist, ist sie diesbezüglich sogar reicher als andere Sprachen (das könnte man diskutieren, sollte sich aber warm anziehen!). Ihre unglaubliche Entwicklung in der Neuzeit scheint weit über das hinauszugehen, was potentielle Nutzer schon von ihr wissen (kann man leider nur mit Leuten diskutieren, die davon wenigstens einen blassen Dunst haben. Falls das jemand arrogant findet, schweige ich künftig frei nach Wittgenstein). Und schließlich geht es nicht um Konkurrenz zu anderen Sprachen, sondern um die Nutzung von Wissen, in diesem Fall von mathematischem.
Deshalb mag ich hier nicht in Dispute geraten, die auf naiv mathematische Weise abzuschätzen versuchen, ob die Mathematik nun eine echte (oder unechte) Untermenge einer natürlichen Sprache ist, ob die Schnittmenge zwischen Mathematik und Deutsch die leere Menge ist oder aber ob die Vereinigungsmenge aller Sprachen inklusive Mathematik und Kisuaheli über das hinausgeht, was die Mathematik alleine für die Wissenschaft zu leisten vermag.
P.s.: Über die Mengenlehre und das kulturelle Unglück, dass sie nie wirklicher Bestandteil unserer schulischen Sprachausbildung geworden ist, habe ich mich bereits 1969 in einem Zeitungsartikel geäußert. Damals hatte ich bereits den Verdacht, dass wir dieses Defizit eines Tage ausbaden werden müssen. Allerdings war gegen die Mehrheit der Eltern wie der Lehrer damals kein Kraut gewachsen.
"So gesehen, versucht die Mathematik selbst keine wissenschaftlichen Modelle der Wirklichkeit hervorzubringen, sondern sie versucht, die Strukturierung und die Kommunikation wissenschaftlicher Modelle zu befördern."
Lieber Werner, ich habe diesen Punkt selbst vorher nicht gesehen, kann ihn aber, nachdem du mir die Augen geöffnet hast, nur voll und ganz unterstützen.
Ich habe nie etwas gegen den Reichtum der Mathematik geschrieben, sondern diesen selbst mehrmals bestätigt. Wo ich dagegen widerspreche ist das Suchen von Konkurrenz mit den natürlichen Sprachen. Es ist nicht einzusehen, wieso der Reichtum der Mathematik in Konkurrenz zu den natürlichen Sprachen behauptet werden muss. Wir haben hier natürlich nicht explizit Reichtum in diesem Kontext definiert. Doch es ist trivial zu zeigen, dass sich sämtliche mathematischen Ausdrücke auf natürlich-sprachige abbilden lassen. In diesem Sinn ist die Mathematik zwar insbesondere in der Praxis bedeutend besser geeignet, nicht aber theoretisch überlegen. Sie mögen das als ontologische Rechthaberei empfinden. Es ist jedoch der Punkt, auf den ein Vergleich von Sprachen (und nicht etwa z. B. von Arbeitsweisen) hinausläuft. Da Sie selbst wiederholt formale Sprachen und Mengenlehre betonen, müsste Ihnen das auch klar sein. Über meine Qualifikation auf diesem Gebiet müssen Sie sich keine Gedanken machen. Dass ich mit der Abbildung der Elemente einer Menge auf die Elemente der anderen arbeite ist diesem geschuldet und nicht etwa einer unterstellten mangelnden Bildung. Wenn die vorgebrachten Argument jedoch ignoriert werden und hauptsächlich ad hominem diskutiert wird, ist das auch vielsagend.
Der Graben zwischen Geistes- und Naturwissenschaften läßt sich nicht zuschütten, da die Geisteswissenschaften das menschliche Bewusstsein betrachten, welches nicht Gegenstand der Naturwissenschaften sein kann.
Haben Sie das mit geistes- oder mit naturwissenschaftlichen Methoden herausgefunden?
Hallo, nicht nur die Mathematik ist wichtig. Fast alle naturwissenschaftliche Fächer haben einen mathematischen Unterbau, daher wird die Mathematik auch heute noch eine der wichtigsten Disziplinen bleiben.