Die vielen Dimensionen der Wellenfunktion
BLOG: Quantenwelt
Im von mir besprochenen Buch H. Dieter Zehs fiel mir ein Aspekt auf, den ich bisher noch nicht erwähnt habe. Vorher wollte ich ein paar grundlegende Dinge zu Koordinatensystemen bloggen. Jetzt geht es um die Dimensionalität der Wellenfunktion.
Aus der klassischen Mechanik ist bekannt, dass es drei Raumkoordinaten braucht um die Position eines als Punktteilchen angenäherten Objektes zu beschreiben. Und man braucht die Zeit als Parameter, um die Veränderung des Ortes mit der Zeit zu beschreiben. Aus der zeitlichen Ableitung der Raumkoordinaten ergibt sich zu jedem Zeitpunkt eine Geschwindigkeit. Das ist Kinematik.
Wir können auch Dynamik betreiben und aus den Positionen der Objekte zu einem Zeitpunkt auf die Vergangenheit und Zukunft der Objekte schließen. Hierzu reicht die Angabe der drei Ortskoordinaten zu einem Zeitpunkt allerdings nicht. Wir brauchen zusätzlich die Geschwindigkeitskoordinaten oder besser die Impulskoordinaten, die für ein klassisches, nichtrelativistisches Objekt einfach durch Multiplikation des Geschwindigkeitsvektors mit der Masse errechnet werden können.
Wenn wir bei der Definition des Koordinatensystems alles richtig gemacht haben, brauchen uns die höheren Ableitungen, also die Beschleunigung und die Änderung der Beschleunigung und die Änderung dieser nicht weiter interessieren. Sie ergeben sich direkt durch Kräfte. Ausschließlich durch reale Kräfte, wenn wir in einem Inertialsystem arbeiten, und außerdem durch Scheinkräfte, wenn das Koordinatensystem in der Raumzeit irgendwie krumm ist.
Jetzt haben wir also sechs Koordinaten, um den Zustand eines Teilchens zu beschreiben. Drei Orts- und drei Geschwindigkeitskoordinaten. (Zeit ist klassisch keine Koordinate, sondern ein Parameter). Zusammen ist das der sechsdimensionale Zustandsraum eines Teilchens. Ein Punkt in diesem abstrakten Raum zu einem Zeitpunkt bestimmt das Verhalten des Teilchens für alle Zeitpunkte der Zukunft und der Vergangenheit. Die klassische Mechanik ist schließlich deterministisch.
Damit ist natürlich noch nicht viel gewonnen. Wer interessiert sich schon für ein einzelnes Teilchen? Wollen wir die Bewegung auf einem Billardtisch berechnen, haben wir es mit sechzehn Kugeln zu tun, von denen jede auf dem Tisch durch zwei Ortskoordinaten und zwei Impulskoordinaten charakterisiert ist. (Streng genommen kommt noch die Rotation hinzu.) Wir bekommen es also mit einem vierundsechzig-dimensionalen Zustandsraum zu tun. Dieser ist streng genommen kein Vektorraum, weil er durch die Banden des Tisches eingeschränkt ist und zwei Kugeln nicht am selben Ort sein können, aber wir brauchen vierundsechzig Koordinaten zur Festlegung eines Zustands.
Wir kriegen es in der Physik schnell mit hochdimensionalen Problemen zu tun.
In der Quantenmechanik wird das Problem eines Teilchens unendlich-dimensional. Das Teilchen wird hier nämlich vollständig durch eine sogenannte Wellenfunktion auf dem dreidimensionalen Ortsraum definiert. Das sind zunächst einmal nur drei Dimensionen. Die Geschwindigkeit brauchen wir im Zustandsraum nicht mehr, weil sie in den sogenannten Phasen der Wellenfunktion erhalten ist. Dafür ist solch eine Wellenfunktion aber eine komplexwertige Funktion. An jedem Ort wird sie durch zwei Zahlen charakterisiert, den Realteil und den Imaginärteil. Also auch hier wieder sechs Werte.
Unendlichdimensional ist das Problem, weil solch eine Wellenfunktion für ein einziges Teilchen nicht mehr den Ort des Teilchens angibt, sondern über den gesamten zur Verfügung stehenden Raum verteilt ist. Die Wellenfunktion ist irgendeine komplexwertige Funktion von drei Raumkoordinaten.* Und da es unendlich viele mathematische Funktionen gibt, ist das ein unendlich-dimensionales Problem. Tatsächlich bilden die möglichen Wellenfunktionen für ein Teilchen sogar einen Vektorraum.
Nun gut, aber es sind drei Dimensionen. Das Quadrat über den Betrag der Wellenfunktion gibt für jeden Punkt des Raumes eine Wahrscheindlichkeit an, das Teilchen dort zu treffen. Das Teilchen ist nur verschmiert, befindet sich aber in einem dreidimensionalen Raum. Die allermeisten Quantenmechanikkurse verbringen viel Zeit mit der Betrachtung einzelner Quantenteilchen in verschiedenen Potentialen. So gerät oft ein Wenig aus dem Blick, dass quantenmechanische Wellenfunktionen gar nicht in unserem realen Raum leben, sondern in einem Zustandsraum.
Ein Zustandsraum wird durch die Koordinaten nicht eines, sondern aller beteiligter Teilchen beschrieben. Darauf weist Zeh an verschiedenen Stellen seines Buchs hin und es hat große Auswirkungen. Bei vielen ununterscheidbaren Quantenteilchen hat nicht jedes eine Wellenfunktion, deren Quadrat die Aufenthaltswahrscheinlichkeit gibt. Es gibt eine Wellenfunktion, die alle Teilchen gemeinsam beschreibt. Und diese Wellenfunktion lebt in einem Raum, der für jedes Teilchen drei Koordinaten hat. Eine Zwei-Teilchen-Wellenfunktion lebt in einem sechs-dimensionalen Zustandsraum, eine Drei-Teilchen-Wellenfunktion in einem neun-dimensionalen und so fort.
Wieder sind die Zustandsräume nicht unbedingt Vektorräume, aber die Gesamtheit aller möglichen Wellenfunktionen bildet einen.
Wichtig ist diese hochdimensionalität der Wellenfunktion, weil nur hierdurch das gesamte physikalische Geschehen abgebildet werden kann. Es wird oft so dargestellt, als sei die Wellenfunktion sowas wie eine Teilchendichte. Ihr Betragsquadrat würde die Dichte von Teilchen an einem Ort wiederspiegeln. Das stimmt so nicht. Das Betragsquadrat einer Wellenfunktion gibt an, mit welcher Wahrscheinlichkeit Teilchen A an einer Position, Teilchen B an einer Position, Teilchen C an einer Position und so fort ist. Möchte man eine Aussage für die Wahrscheinlichkeitsverteilung eines einzelnen Teilchens erhalten, so muss man entweder die der anderen festlegen (das ist eine bedingte Wahrscheinlichkeit) oder über alle anderen integrieren (das ist eine gemittelte Wahrscheinlichkeit).
Die Wellenfunktion kann sehr viel mehr als die möglichen Positionen von Teilchen angeben. So kann man auch Korrelationen zwischen zwei oder mehr Teilchen angeben. Das sind Wenn-dann-Sätze über ihre Orte oder Geschwindigkeiten. Wenn ein Teilchen an einem Ort angetroffen wird, kann man Schlüsse darauf ziehen, mit welcher Wahrscheinlichkeit dann ein anderes an einem anderen bestimmten Ort oder am selben Ort ist. Oder man kann Wahrscheinlichkeiten von Abständen der Teilchen zueinander oder von Geschwindigkeiten zueinander aus der Wellenfunktion extrahieren.
Ein weiterer Punkt, der nur durch die vielen Dimensionen verstehbar ist, ist die besondere Symmetrie von Wellenfunktionen. Bei identischen Teilchen darf es nämlich keinen Unterschied machen, in welcher Reihenfolge man die Koordinaten der Teilchen verwendet. Die Wellenfunktionen müssen symmetrisch bezüglich der Vertauschung zweier Teilchen sein. Dafür gibt es zwei Möglichkeiten. Gerade Symmetrie und ungerade. Teilchen mit ungerader Symmetrie heißen Fermionen. Sie meiden einander, sie können sich nicht denselben Zustand teilen. Teilchen mit gerader Symmetrie heißen Bosonen. Sie nehmen gerne alle denselben Zustand ein und nur weil Photonen Bosonen sind, funktioniert ein Laser.
Laienfrage
Einzelne Atome und auch einzelne Moleküle sind über den Raum verschmiert, und fliegen auch notfalls gleichzeitig durch zwei verschiedene Spalten.
Warum behalten dann die einzelnen Atome eines Moleküls ihre genaue Lage innerhalb des Moleküls bei, obwohl das einzelne Molekül durch zwei verschiedene Spalten geflogen ist?
@Karl Bednarik: Korrelation
Ja, das ist ein hervorragendes Beispiel. Die Gesamt-Wellenfunktion beschreibt eben nicht nur, wie jedes einzelne Atom durch beide Spalte zugleich fliegt. Sie beschreibt auch die Korrelation zwischen den Atomen.
Würde man aus solch einer Gesamtwellenfunktion die Abstände zwischen den Atomen herauspräparieren, so wären die sehr scharf definiert, selbst wenn die einzelnen Orte der Atome über den gesamten Raum verschmiert sind. Praktisch hieße das: Es ist unbestimmt, wo man das Molekül antrifft, aber es ist sehr exakt definiert, welche Form es hat.
In der Praxis wird man hier aber kaum je die Gesamtwellenfunktion berechnen. Weil die Energien, die zum Ausbrechen des Moleküls benötigt werden, so viel größer sind als die Beschleunigungen des Moleküls, kann man Problem Zerlegt werden in eine Ein-Teilchen-Wellenfunkion, die die Schwerpunktbewegung des Moleküls beschreibt und eine, wie das “Innenleben” des Moleküls beschreibt.
Gesamtwellenfunktion des Universums
Wenn gilt: ” Es gibt eine Wellenfunktion, die alle Teilchen gemeinsam beschreibt.”, wäre die letzte Konsequenz eine Wellenfunktion für das ganze Universum.
Ein solches rein quantenmechanisch beschriebenes Universum würde sich auch durchwegs deterministisch entwickeln genau wie das die Wellenfunktion tut.
Es ist wahrscheinlich kein Zufall, dass Hans Dieter Zeh an verschiedenen Stellen seiner Veröffentlichungen darauf hinweist, dass der Zustandsraum eines Systems alle darin vorkommenden Teilchen umfasst und nicht etwa zusammengeflickt ist aus Wellenfunktionen für jedes einzelne Teilchen, denn Hans Dieter Zeh lässt auch oft durchblicken, dass für ihn die Everett’sche “Viele-Welten- Interpretation” der Quantentheorie, welche nicht mehr zwischen Quantenwelt und ganz anders funktionierender realer Welt unterscheidet, die richtige ist.
Hier ein Zitat aus der deutschsprachigen Wikipedia über die “Viele-Welten-Interpretation”, welches aufzeigt, dass eine der wichtigsten Motivationen für die “Viele-Welten-Theorie” die korrekte Behandlung von Viel-Teilchen-Systemen war: “Everett entwickelte zunächst das Konzept der „relativen Zustände“ von zusammengesetzten Systemen: Kommt es zu Wechselwirkungen zwischen Teilen des Systems, so sind die Zustände dieser Teile nicht mehr unabhängig voneinander, sondern auf eine bestimmte Art und Weise korreliert. Unter diesem Gesichtspunkt behandelt er auch die Messung an einem Quantensystem. Den Beobachter definiert Everett dabei durch ein beliebiges Objekt mit der Fähigkeit, sich an das Ergebnis der Messung zu erinnern. Dies bedeutet, dass sich der Zustand des Beobachters durch das Ergebnis der Messung verändert. Die Messung wird somit lediglich als spezielle Art der Interaktion zweier Quantensysteme behandelt.”
Leider stürzen sich die meisten auf die scheinbar spektakulären Konsequenzen der Viele-Welten-Theorie. Dabei wäre es wichtiger den Viele-Teilchen-Aspekt dieser Theorie stärker in den Fokus zu rücken. Interessant ist sicher, dass es keine absoluten Grenzen für die quantenmechanische Korrelation von Teilchen gibt. Im Extremfall hängt alles mit allem zusammen.
Interpretiert man das ganze Universum als Computer, so scheint die Quantenbetrachtung als unheimliche Performance-Bremse für diesen Computer oder für einen Computer der das Universum quantenphysikalisch korrekt simuliert , müssen doch alle denkbaren Interaktionen mit in die Rechnung einfliessen.
Die aus der Informationstheorie bekannte Komplexitätals Mass für den Berechnungsaufwand abhängig von der Problemgrösse muss für quantenmechanisch durchzurechnende Vielteilchensysteme wohl zu einem exponentiellen Berechnungsaufwand kommen.
Einerseits ist das frustierend, andererseits auch irgendwie tröstend, bedeutet es doch, dass das Universum (oder nur schon Teile davon) eventuell theoretisch deterministisch abläuft aber praktisch nie für interessante Problemgrössen durchgerechnet werden kann – mindestens nicht mit Computern, die nach den heute bekannten Prinzipien arbeiten.
Dekohärenz
Ich fürchte diese macht allen Gedankenspielen bei Makroobjekten einen dicken Strich durch die Rechnung. Bose-Einstein-Kondensate und superfluides Helium ändern das auch nicht.
Makroobjekte
Es geht in diesem Artikel eh nicht im Makroobjekte, sondern um Viel-Teilchen-Systeme in der Quantenmechanik. Schon ein mittelgrößes Atom ist ein Viel-Teilchen-System.
Für Makroobjekte wird man auch in Zukunft mit klassischer Mechanik oder statistischer Mechanik /Thermodynamik rechnen.
Die Wellenfunktion des Universums ist philosophische Spekulation.
@Meinhard Birgel : Bose-Einstein-Kondens
Meines Wissens zeigen Bose-Einstein-Kondensate Quantenkohärenz. Quanten-Korrelationen in makroskopischen Objekten – BEC sind makroskopisch – sind also nicht ausgeschlossen.
Schliesslich bedeutet Dekohärenz lediglich, dass ein System mit der Umgebung interagiert und damit die Abgeschlossenheit des Systems verlorengeht. Die Dekohärenz ist also ein ganz normaler mit der Quantentheorie erklärbarer Vorgang. Auch makroskopische Objekte können für kurze Zeit Kohärenz zeigen, allerdings werden die Kohärenzzeiten immer kürzer. Bei sehr tiefen Temperaturen können die Dekohärenzzeiten aber auch bei makroskopischen Objekten lange sein.
Atom als Vielteilchensystem
Frage: Wie gross ist der Fehler wenn man die Korrelation der beiden Elektronen eines Heliumatoms unterschlägt?
Eigentlich sollte man erwarten, dass die beiden Elektronen recht stark miteinander interagieren und sie somit deutlich korreliert sind.
Dimensionsreduktion
Dimensionen widerspiegeln die Anzahl der Freiheitsgrade einer Bewegung oder im allgemeinen Fall die Anzahl der unabhängigen Grössen. Eine Explosion der Anzahl Dimensionen könnte ein Hinweis darauf sein, dass das Problem zu allgemein behandelt wird.
Das folgende Zitat
lässt es plausibel erscheinen, die Welllenfunktion wegen der unendlich vielen Kandidatenfunktionen als unendlich dimensionales Problem aufzufassen. Als solches wären die unendlich vielen Funktionen unabhängig voneinander und könnten beliebig kombiniert werden.
Das empfinde ich als zuviel Freiheit – so viel dass es unpraktikabel wird. Ich würde dazu tendieren, anstatt unendlich viele Kandidatenfunktionen nur Linearkombinationen eines Sets von Basisfunktionen zuzulassen.
Neue Dimensionen einführen ist problematisch obwohl es oft nötig ist. Nehmen wir die 4-dimensionale Raumzeit der Relativitätstheorie. Wenn man die Zeit als 4. Dimension auf die gleiche Stufe wie die räumlichen Dimensionen stellt erhält man ein Blockuniversum – das ist ein Universum in dem nichts passiert, weil alles schon passiert ist und man nur an die richtige Stelle im Blockuniversum gehen muss um einen beliebigen Punkt in der Vergangenheit oder Zukunft anzusteuern. Etwas was nach der Vorstellung gewisser Leute nur Gott kann. ” Gott nimmt die Welt gesamthaft als Block wahr, wir aber ausgefaltet in Früher und Später.”
Ziemlicher Unsinn also. Man sollte sich nicht durch die Freiheit der Dimensionen verführen lassen.
Mathefreie Physik
Ich habe alle Kommentare, die die Verwendung mathematischer Modelle in der Physik generell für falsch erklären, unsichtbar geschaltet. Mathematische Modelle sind seit 400 Jahren integraler Bestandteil der Naturwissenschaften und werden deshalb hier ihren Platz haben. Finden Sie sich bitte damit ab.
@Martin Holzherr: Freiheit
Freiheit wird im meinen Beiträgen in letzter Zeit oft kritisiert. Sie schreiben: “Das [unendlich dimensionale Vektorräume] empfinde ich als zuviel Freiheit”
Ihre Empfindung in allen Ehren, aber so wird es nunmal gemacht. Für ein freies Teilchen sind zum beispiel harmonische Wellen, also Sinus- und Kosinuswellen allgemeine Lösungen der Schrödungergleichung. Aus diesen können nun durch Überlagerung Wellenpakete erzeugt werden. Das geht aber nur, indem man ein Kontinuum, also eine unendlich dichte Verteilung, von Frequenzen zulässt.
Mit der Integralrechnung stehen uns mathematische Hilfsmittel zur Verfügung, die mit solchen unendlich vielen Freiheitsgraden ganz gut umgehen können. Das können Sie als “ziemlichen Unsinn” bezeichnen, es wird aber heute schon an der Schule gelehrt.
Verständnismäßiges
Die Dgl. dy/dt = -y soll im Raum der reellwertigen Funktionen gelöst werden. Das ist ein Problem. Und da es unendlich viele reellwertige Funktionen gibt, ist das ein unendlich-dimensionales Problem?
Zur Verständnisfrage
Ja, in dem Sinne, dass die Lösungsfunktion Element des unendlichdimensionalen Vektorraums der differenzierbaren Funktionen ist.
Der zitierte Satz ist eine starke Verkürzung der eigentlichen, mathematisch exakten Argumentation. Für die müsste ich zunächst die Definition eines Vektorraums nennen und dann nachweisen, inwiefern Funktionen dieser Definition entsprechen.
Wesentlich ist für die Wellenfunktion, dass man nachweisen kann, dass die Summe zweier Lösungen der Schrödingergleichung auch eine gültige Lösung ist. Deshalb macht das Vektorraum-Konzept bei der Betrachtung von Wellenfunktionen Sinn.
Wellenfunktion ein Dimensionsproblem?
@Joachim: Wenn die Integration über ein Kontinuum von möglichen Frequenzen von Sinus-und Cosinusbasisfunktionen das Problem löst – also die Wellenfunktion erzeugt -, muss man sich fragen, ob hier ein echtes Dimensionsproblem vorliegt, ob also die Betonung, dass wir es mit unendlich viel Dimensionen zu tun haben etwas zum Problemverständnis beiträgt.
So gesehen erkenne ich nun hinter ihrem Beitrag “Die vielen Dimensionen der Wellenfunktion” die Motivation nach Beispielen zu suchen, die hohe Dimensionalität beinhalten. Der Beitrag ist praktisch das Ergebnis einer Analyse, eines Suchprozesses, wo sich jemand mit dem Begriff Dimension auseinandergesetzt hat und dann entdeckt, dass es – unter anderem – in der Physik sehr viele Beispiele für Hochdimensionalität gibt. Allerdings frage ich mich, was die Betonung der hohen Dimensionalität für einen Erkenntnisgewinn bringt oder welche neuen Zugänge sich eröffnen. Scheinbar wird die Hochdimensionalität meist mit einem Summierungsvorgang (Integration) bewältigt, womit die Hochdimensionalität dann schon schnell wieder aus der Welt ist.
Am wichtigsten an diesem Beitrag scheint mir eher ein Nebenergebnis der Dimensionsbetrachtung:
(Zitat)“
Ein Zustandsraum wird durch die Koordinaten nicht eines, sondern aller beteiligter Teilchen beschrieben. .. Es gibt eine Wellenfunktion, die alle Teilchen gemeinsam beschreibt. Und diese Wellenfunktion lebt in einem Raum, der für jedes Teilchen drei Koordinaten hat.”
Ich bin immer noch der Überzeugung, dass man im allgemeinen hohe Dimensionalität vermeiden will. Wenn man also nicht 4 Wellenfunktionen für 4 Teilchen sondern eine Wellenfunktion für alle 4 Teilchen gemeinsam konstruiert, dann hat man seine guten Gründe dafür und tut das nicht freiwillig, sondern weil es anders nicht geht.
Der letzte Teil der “Dimensionsbetrachtugen”, dort wo sie die Symmetrien von Wellenfunktionen von Teilchensystemen betrachten und über die Tatsache ob die Reihenfolge der Teilchen eine Rolle spielt oder nicht zu den Teilchenklassen Bosonen und Fermionen kommen, zeigt für mich wiederum, dass von der Hochdimensionalität sehr schnell nur noch wenig übrigbleibt. Hier ist das Überbleibsel scheinbar Statistik, spricht man doch von der Bose-Einstein-Statistik für Bosonen und der Fermi-Dirac-Statistik für Fermionen.
Hochdimensionalität wird also in der Praxis schnell “eingedampft”. Doch wahrscheinlich ist es schon so, dass man diesen “Eindampfprozess” nur dann korrekt durchführen kann, wenn man sich zuerst bewusst macht, dass es sich um ein hochdimensionales Problem handelt und man zudem erkennt, welche Gesetze man befogeln muss um mit der Hoch-Dimensionalität korrekt umzugehen.
@Joachim Zur Verständnisfrage
Entstammen die Lösungsfunktionen der klassischen Trajektorienbündel nicht ebenfalls einem solchen unendlich-dimensionalen Raum? Und falls ja, entfällt dann nicht der Gegensatz, den Sie in
doch anscheinend herausstellen wollen?
@Ano Nym
Nein eigentlich nicht. Denn in der klassischen Mechanik läuft ein Teilchen nicht auf einem Trajektorien-Bündel, sondern auf einer einzelnen Trajektorie.
@Joachim
N klassische Teilchen laufen auf N Trajektorien. Die Gesamtheit dieser N Trajektorien habe ich gemeint, als ich “Trajektorienbündel” schrieb.
Noch mal meine Frage: Entstammen die N Lösungsfunktionen für die N Trajektorien nicht (jeweils) ebenfalls solchen unendlich-dimensionalen Räumen? Und falls ja, entfällt dann nicht der Gegensatz, den Sie in
doch anscheinend herausstellen wollen?
@Ano Nym
Nein, der Gegensatz zwischen einem Teilchen und N Teilchen bleibt bestehen.
Klassische Physik: N Teilchen werden durch einen Punkt in einem N*6-dimensionalem Phasenraum beschrieben.
Quantenmechanik: Ein Teilchen wird mit einer Wellenfunktion, Element eines unendlichdimensionalen. Vektorraums beschrieben.
@Joachim
Sie haben sich an den N Teilchen festgebissen, es war mein Fehler, “Trajektorienbündel” zu schreiben.
Lesen Sie meine Frage doch bitte einfach mit N=1.
@Joachim ich habe zu früh abgeschickt
Doch nicht “beschrieben”, sondern festgelegt, das ist der Determinismus, den Sie erwähnt haben. Beschrieben wird das Teilchen aber durch die Trajektorie und die stammt doch aus einem “unendlich-dimensionalen” Raum. Oder nicht?
@Ano Nym
Das stimmt. Aber das ist hier nicht der Punkt. Es geht darum, wie man in klassischer Mechanik und Quantenmechanik den Zustand eines Teilchens zu einem bestimmten Zeitpunkt darstellt.
Für ein klassisches Teilchen braucht man dazu einen Punkt im Phasenraum bestehend aus Orts- und Impulskoordinaten. Das sind sechs Zahlen.
Für ein quantenmechanisches Teilchen braucht man eine ganze Wellenfunktion über den Zustandsraum. Das ist eine Funktion, die jedem der unendlich vielen Punkten des 3-dimensionalen Ortsraums eine Komplexe Zahl zuordnet. Und diese ist Element eines unendlich-dimensionalen Vektorraums.