Einstein verstehen: Ein Blogexperiment, Teil I

von Markus Pössel, 02. Dezember 2010, 21:15

Dieser Blogeintrag ist Teil eines Testlaufs für eine neue Abteilung des Webportals Einstein Online, die den Arbeitstitel "Einstein verstehen" tragen und eine einfache Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie bieten soll — und zwar nicht nur in Worten und Bildern, wie auf den übrigen Seiten von Einstein Online, sondern unter Verwendung von einfacher Schulmathematik. Damit lassen sich die physikalischen Begriffe genauer definieren als in einem populärwissenschaftlichen Text, und Leser sollten am Ende in der Lage sein, grundlegende Rechnungen selbst durchzuführen oder zumindest nachzuvollziehen.

[Bislang sind online: Teil 1, Teil 2, Teil 3]

Der Text richtet sich an alle, die die Spezielle Relativitätstheorie über das Niveau populärwissenschaftlicher Prosa hinaus verstehen und nachvollziehen wollen, von Schülern ab etwa der 10. Klasse bis zu Erwachsenen, die nur noch die Grundlagen der Schulmathematik erinnern. Um möglichst vielen Lesern aus dieser Gruppe zugänglich zu sein, ist der Text gerade am Anfang, bei den grundlegenden Konzepten, vergleichsweise ausführlich.

Bevor der Text im Ganzen auf Einstein Online erscheint, gibt es die ersten Teile davon hier auf diesem Blog – mit der Möglichkeit, direkte Rückmeldung zu geben: Ist irgendwo etwas unklar? Gibt es Stellen, an denen zusätzliche Hintergrundinformation nützlich wäre? Einige Anmerkungen zum Prozedere folgen am Ende des Blogbeitrags.

In der Blog-Testversion präsentiert sich die neue Abteilung als eine Folge von längeren zusammenhängenden Texten. Bei der späteren Webversion sollen diese Textteile in noch kleinere Abschnitte unterteilt und so angeordnet sein, dass Leser mit weitergehendem Vorwissen das, was sie bereits gut verstehen, einfach überspringen können.

In den ersten Teiltexten nehmen wir etwas Anlauf und führen zuerst Grundbegriffe der klassischen Physik ein, insbesondere der klassischen Mechanik. Den Anfang machen dabei Ausführungen zu Raumkoordinaten und statischen Bezugssystemen, also zu dem geeigneten Rahmen zur Beschreibung von Situationen, an denen sich mit fortschreitender Zeit nichts verändert. In der eigentlichen Online-Version der Einführung auf Einstein Online werden vor diesem Text noch eine kurze Einleitung mit einem Überblick und einige historischen Anmerkungen stehen. Hier fängt's an:

Der Weg zu einem Grundverständnis der Speziellen Relativitätstheorie beginnt in der klassischen Physik. Von dort stammen die grundlegenden Konzepte zur Beschreibung von Raum, Zeit und Bewegung, und außerdem gilt auch dort bereits eine Version des später dann so wichtigen Relativitätsprinzips. Dementsprechend beginnen auch wir hier mit der klassischen Physik, genauer: mit einem kurzen Abriss der klassischen Mechanik und direkt anschließend mit der systematischen Entwicklung der mathematischen Modelle, mit denen die klassische Mechanik Raum und Zeit beschreibt.

Körper, Bewegung und Kräfte: Klassische Mechanik

Die klassische Mechanik, die beschreibt, wie sich Objekte unter dem Einfluss äußerer Kräfte bewegen, ist eine der erfolgreichsten Theorien der Physik. Als wesentlicher Bestandteil der Vorhersagen der Astronomen zu den Bahnen von Planeten, Asteroiden und Kometen hatte sie entscheidenden Anteil daran, dass sich die Physik als exakte Wissenschaft etablierte. Auch für unseren Alltag spielt sie eine wichtige Rolle, wenn auch meist im Hintergrund: Die klassische Mechanik ist z.B. Grundlage der Statik, mit deren Hilfe Architekten die Struktur von Gebäuden planen und ihre Stabilität berechnen, und der Fluiddynamik, mit deren Hilfe Flugzeuge, Schiffe und Autos entworfen werden.

Grundprinzip der klassischen Mechanik ist eine Zweiteilung der Bewegung von Objekten in natürliche Bewegung und Abweichungen von solcher natürlichen Bewegung. Damit ist folgendes gemeint: Ohne den Einfluss äußerer Kräfte bewegen sich Körper mit konstanter Geschwindigkeit entlang gerader Bahnen. In der folgenden Abbildung ist dies anhand von goldenen Kugeln gezeigt, die Körper darstellen, auf die keinerlei Kräfte wirken. Die blauen Pfeile zeigen an, wie sich die Kugeln innerhalb einer Sekunde bewegen:

alt

Diese Aussage heißt erstes Newton'sches Gesetz oder (Galilei'sches) Trägheitsgesetz. Dass ein Körper ruht, ist als Spezialfall "konstante Geschwindigkeit Null" in dieser Beschreibung enthalten. Geradlinige Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit: Das ist der natürliche Bewegungszustand von Körpern.

Nächste Aussage der klassischen Mechanik ist, dass Körper nicht grundlos von ihrem natürlichen Bewegungszustand abweichen, sondern genau dann, wenn sie von einer Kraft beeinflusst werden. Wie diese Kräfte zustandekommen, ist von Kraft zu Kraft — von der Newton'schen Gravitationskraft bis zur Hook'schen Federkraft, von den Kräften, die beim elastischen Stoß wirken bis zur Reibungskraft nach Amontons — unterschiedlich.

Gemeinsam ist all diesen Kräften, welche Bewegungsänderung sie bei gegeber Stärke und Richtung bei einem Körper hervorrufen. Das zweite Newton'sche Gesetz der Mechanik besagt: Die Beschleunigung a, die ein Körper erfährt, ist gleich der auf ihn wirkenden Kraft F, geteilt durch die Masse m des Körpers. Die folgende Abbildung soll das veranschaulichen: Sie zeigt einen Körper (kleine goldene Kugel), dessen natürliche Bewegung ihn weiter geradeaus führen würde (blauer Pfeil), wenn da nicht die von einem massereichen Körper (rote Kugel) ausgehenden Schwerkraft wäre, die anziehend wirkt (roter Pfeil). Der Körper wird durch die Kraft in Richtung des massereichen Körpers beschleunigt. Er folgt nicht der geraden blauen Bahn, sondern der gekrümmten, violett eingezeichneten Bahn:

alt

Diese Art des Zusammenspiels von natürlicher Bewegung und Anziehungskraft spielt beispielsweise eine Rolle, wenn man die Umlaufbahn eines Planeten wie unserer Erde um einen massereichen Körper wie die Sonne ableiten will.

Kräfte wirken nie isoliert: Wirkt ein Körper A mit einer Kraft F auf einen Körper B, so wirkt immer auch eine Kraft gleicher Stärke in entgegengesetzter Richtung auf den Körper A zurück. Wir kennen die Konsequenzen aus dem Alltag: Gebe ich beispielsweise einem schweren Einkaufswagen einen Schubs, dann spüre ich, wie mein eigener Körper in die Gegenrichtung gedrückt wird. Dies ist das dritte Newton'sche Gesetz, auch in der halblateinischen Version actio gleich reactio bekannt: Jede Aktion (jede Kraft) erzeugt eine gleich große Reaktion (eine gleich große Gegenkraft).

Diese drei Bewegungsgesetze, zusammen mit Angaben über die Eigenschaften von Kräften zwischen den Körpern wie beispielsweise der Gravitationskraft, bilden das Kernstück der klassischen Mechanik.

Soweit zur Prosa-Zusammenfassung. Jetzt wollen wir systematisch Definitionen und Konzepte entwickeln, um das Gesagte genauer beschreiben zu können – eben nicht nur mit Worten, sondern mit (einfachen) mathematischen Begriffen. Als erstes gehen wir daran, den Raum zu beschreiben, denn um ein Konzept wie Bewegung mathematisch zu erfassen, muss man angeben können, wo sich ein Objekt denn überhaupt befindet. Das grundlegende mathematische Modell für den Raum, in dem sich die klassische Physik abspielt, ist der euklidische Raum. Die Hilfsgrößen, mit denen sich Positionen von Objekten beschreiben lassen, sind Koordinaten in diesem Raum.

Euklidischer Raum und Koordinaten

Der zweidimensionale euklidische Raum dürfte den meisten Lesern aus dem Mathematikunterricht der Mittelstufe bekannt sein, wenn vielleicht auch unter anderem Namen: Dieser zweidimensionale Raum ist die Ebene, in der man ebene Geometrie betreiben und die Eigenschaften von Dreiecken und anderen geometrischen Figuren berechnen kann. Insbesondere gilt in diesem Raum für rechtwinklige Dreiecke der Satz des Pythagoras:

Ist c die Länge der Dreiecksseite gegenüber dem rechten Winkel, und sind a und b die Längen der anderen beiden Seiten, so gilt

Wer die Geometrie der Ebene beherrscht, bringt beste Voraussetzungen mit, um sich im dreidimensionalen euklidischen Raum zurechtzufinden, denn in jeder Ebene in diesem Raum gelten die wohlbekannten Formeln der zweidimensionalen Geometrie.

Das dreidimensionale kartesische Koordinatensystem ist Stoff der Oberstufe: Jedem Punkt im Raum wird zur eindeutigen Identifikation ein Satz von drei Zahlen (x,y,z) zugeordnet. Sind die Werte von x,y,z bekannt, dann ist eindeutig festgelegt, von welchem Punkt die Rede ist. Umgekehrt gilt: Jedem Punkt im Raum entsprechen eindeutig bestimmte Werte für x, y, z. Definiert ist das Koordinatensystem durch drei Achsen, die senkrecht aufeinander stehen, alternativ durch die drei senkrecht auf diesen Achsen stehenden Ebenen durch den Achsenschnittpunkt. Ausschnitte aus den drei Ebenen und den drei Achsen sind hier farbcodiert skizziert:

Dreidimensionales Koordinatensystem: Achsen und, senkrecht dazu, Koordinatenebenen

Nennen wir die grüne Achse die x-Achse (und die grüne Ebene die x-Ebene), die blaue Achse die y-Achse (die blaue Ebene die y-Ebene) und die rote Achse die z-Achse (rote Ebene = z-Ebene), dann haben wir die Basis eines so genannten rechtshändigen kartesischen Koordinatensystems; es heißt so, weil sich den Achsen in der rechts abgebildeten Weise Daumen, Zeige- und Mittelfinger der rechten Hand zuordnen lassen. Bei einem linkshändigen System zeigt die z-Achse in die Gegenrichtung; dann funktioniert die gleiche Zuordnung von Achsen zu Fingern mit der linken Hand. In allen Fällen gilt: Die Skizze kann nicht wiedergeben, dass die Achsen eigentlich unendlich lang, die Ebenen unendlich ausgedehnt sind.

Sind Achsen bzw. Ebenen definiert, lässt sich direkt angeben, wie man einem beliebigen Punkt in diesem Raum drei Koordinatenwerte x,y,z zuordnen kann. Der kürzeste Abstand von diesem Punkt zur x-Ebene liefert den x-Koordinatenwert; in der folgenden Abbildung ist der Punkt als goldene Kugel dargestellt, und der x-Koordinatenwert ist die Länge der eingezeichneten grünlichen Strecke, die im Bild von der Kugel aus nach schräg links hinten läuft und die Kugel mit der grünen x-Wand verbindet:

Punkt in dreidimensionalem Koordinatensystem

Der kürzeste Abstand der Kugel zur y-Ebene (bläuliche Strecke) liefert den y-Koordinatenwert, und analog verhält es sich mit z-Ebene und z-Koordinatenwert (rötliche Strecke).

Dass wir es mit einem euklidischen Raum zu tun haben, zeigt sich direkt daran, wie sich aus den Koordinatendifferenzen in x-, y- und z-Richtung zweier Raumpunkte der Abstand zwischen diesen Punkten ergibt. Sind x₁, y₁ und z₁ die Koordinaten des ersten Raumpunktes und x₂, y₂ und z₂ die des zweiten, dann ist der Abstand zwischen den beiden Punkten

– das ist die dreidimensionale Version des Satzes des Pythagoras (ausführliche Ableitung dieser Formel hier). In der Physik gibt es mehr als einen Abstandsbegriff, in der Mathematik sogar eine noch größere Zahl von Abstandsbegriffen als in der Physik; wenn wir klarstellen wollen, dass von dem im euklidischen Raum definierten Abstand reden, können wir direkt vom "euklidischen Abstand" reden. Wenn im folgenden Text dieses Blogbeitrags von "Abstand" die Rede ist, ist immer der euklidische Abstand gemeint.

Es gibt unendlich viele verschiedene Möglichkeiten, ein kartesisches Koordinatensystem im euklidischen Raum zu definieren: Es gibt unendlich viele Raumpunkte, die man als Schnittpunkt der drei Achsen wählen kann, und unendlich viele Orientierungen für das Achsenkreuz. Die Koordinatenzuweisung ist also keineswegs eindeutig, ein Umstand, der im folgenden noch eine wichtige Rolle spielen wird.

Um eines der vielen möglichen Koordinatensysteme zu definieren, genügen vergleichsweise wenige Angaben. Eine Definitionsmöglichkeit besteht darin, drei durchnummerierte Punkte im Raum zu wählen und aus diesen drei Punkten nach den folgenden Regeln das kartesische Koordinatensystem zu konstruieren: Punkt 1 wählen wir als Koordinatennullpunkt und die Richtung der Verbindungsgerade von Punkt 1 und Punkt 2 als Richtung der x-Achse. Fällen wir das Lot von Punkt 3 auf die durch Punkt 1 und Punkt 2 definierte Gerade, erhalten wir die Richtung der y-Achse. Sind die Richtungen von x- und y-Achse bestimmt, dann bestimmen wir anhand der Rechte-Hand-Regel die Richtung der z-Achse, die senkrecht auf x- und y-Achse steht. Hier ist der Konstruktionsprozess grafisch dargestellt:

Der Vollständigkeit halber sei angemerkt, dass es neben den kartesischen Koordinaten noch weitere, äquivalente Arten von Koordinatensystemen gibt. Ein wichtiges Beispiel sind die Kugelkoordinaten (sphärische Koordinaten), bei denen die Lage jedes Punktes durch eine Entfernung (die Entfernung des Punktes vom Nullpunkt) und zwei Winkel (zwischen der Verbindungsgeraden zum Nullpunkt und geeigneten Referenzebenen) angegeben wird. Diese anderen Koordinatensorten sollen uns hier erst einmal nicht näher beschäftigen. Stattdessen wollen wir jetzt die Brücke zwischen der Mathematik und der physikalischen Welt schlagen.

Physikalische Geometrie: Grundlagen

Euklidischer Raum und Koordinatensysteme sind mathematische Gebilde. Um sie als Modelle der physikalischen Wirklichkeit einzusetzen, muss man angeben, wie die mathematischen Konzepte in Mess- und Konstruktionsvorschriften umgesetzt werden sollen.

Für den zentralen Begriff eines Geradenabschnitts gibt es eine Reihe möglicher Entsprechungen. Beim Bau von Gebäuden wird gelegentlich noch eine möglichst straff gespannte, möglichst dünne und reißfeste Schnur eingesetzt, sei es als waagerechte Referenzgerade oder, mit einem Gewicht beschwert, als Lotstrecke. Auch für eine Kante eines Festkörpers lässt sich anhand einfacher Regeln definieren, wann sie gerade ist – so müssen sich zwei solche gerade Festkörperkanten beispielsweise an allen Punkten berühren, und dies auch, wenn man sie entlang der Kante verschiebt. Das Ergebnis ist ein Lineal.

Analog lässt sich definieren, wann z.B. zwei Metallplatten in guter Näherung Ausschnitte aus einer Ebene darstellen. Eine möglichst kleine Markierung auf solch einer Ebene oder der Kante eines Lineals – oder, allgemeiner, irgendeine besonders kleine Markierung – ist die physikalische Entsprechung eines Punkts.

Nächster Schritt ist die physikalische Definition von Längenmaßen. Urtyp eines Längenmaßes ist ein Maßstab, also ein Festkörper mit gerader Kante, darauf zwei Markierungen, die Nullmarke und die Einsmarke, die unsere Längeneinheit definieren. Alle anderen Abstände und Längen wollen wir als Vielfache oder mit Hilfe von Bruchteilen des Abstands dieser beiden Marken angeben. Wenn wir in diesem Zusammenhang davon reden, der Abstand zweier Punkte habe den Wert 2, ist damit gemeint, dass die Verbindungsstrecke der Punkte gerade doppelt so lang ist wie unsere Längeneinheit. Der so gemessene Abstand soll, so unsere Zuordnung, dem euklidischen Abstand entsprechen.

Streben wir eine besonders hohe Genauigkeit an, müssen wir sicherstellen, dass sich unser Maßstab so wenig wie möglich verformt. Beim wohl bekanntesten Längenmaß, dem in Paris aufbewahrten Urmeter, und bei seinen Kopien, ist das durch einen besonders stabilen Querschnitt sichergestellt; hier eine entsprechende Ansicht der Urmeter-Kopie, die jetzt im deutschen Museum aufbewahrt wird:

Außerdem müssen wir berücksichtigen, dass sich Festkörper je nach Temperatur ein wenig ausdehnen oder zusammenziehen können; wir können unseren Maßstab dazu aus einem Material herstellen, dessen Länge sich mit wechselnder Temperatur so gut wie nicht verändert ("Invar"), oder unsere Konstruktionen und Messungen sämtlich bei einer konstanten Temperatur durchführen, oder beides.

Solange wir lediglich Vielfache einer Längeneinheit bestimmen können, sind keine besonders genauen Messungen möglich. Dazu benötigen wir zusätzlich noch Bruchteile der Längeneinheit, etwa in Form von gleichmäßigen, an der Kante aufgetragenen Unterteilungen, wie sie bei dem oben gezeigten Lineal bereits zu sehen waren.

Eine Möglichkeit, diese Unterteilungen herzustellen, ist die physikalische Umsetzung von mathematischen Zirkelkonstruktionen. Als Zirkel fester Größe lässt ein Festkörper – etwa einem Stück Metall – mit zwei Spitzen nutzen. Die eine Spitze wird auf eine Metallplatte aufgesetzt; um den ortsfesten Aufsetzpunkt soll sich das Metallstück drehen lassen. Die andere Spitze ist so präpariert ist, dass sie Spuren hinterlässt, wenn sie über die Metallplatte gezogen wird. Mit solch einem Zirkel lassen sich Konstruktionen wie die hier dargestellte zur Halbierung der Strecke, die A und B verbindet, in der Praxis umsetzen:

In Worten beschrieben: Man schlage mit dem Zirkel um A und um B zwei Kreise mit dem gleichen Radius; der Radius sollte groß genug sein, dass sich die Kreise in zwei Punkten schneiden. Der mit dem Lineal gezeichnete Ausschnitt der Verbindungsgerade der beiden Kreisschnittpunkte schneidet die A und B verbindende Strecke in einem Punkt. Dieser Punkt ist der Mittelpunkt der Strecke. Durch immer weitere Halbierungen können wir so feine Unterteilungen anzeichnen wie praktisch möglich.

Mit einem unterteilten Längenmaß können wir den Abstand zwischen zwei Punkten A und B so messen, wie wir es von Lineal und Zollstock gewohnt sind: Wir legen den Längenmaßstab so an, dass Punkt A direkt an der Nullmarke zu liegen kommt, und Punkt B direkt auf der durch die gerade Kante definierten Gerade. Dann können wir direkt bei Punkt B ablesen, neben welcher der Unterteilungen sich Punkt B befindet; in dem folgenden Bild beispielsweise sind die Punkte A und B 12,1 Zentimeter (also 12,1 hundertstel Meter) voneinander entfernt:

Zumindest für Punkte, zwischen denen keine Hindernisse liegen, können wir so den Abstand bestimmen. In der gleichen Weise, nämlich durch (ggf. wiederholtes) Anlegen des Längenmaßes, können wir die Längen gerader Kanten eines Festkörpers bestimmen, also z.B. die Länge, Breite oder Höhe eines Körpers.

Nun, da wir physikalische Umsetzungen für Gerade, Abstand, Punkt und Ebene gefunden haben, lassen sich mathematische Konzepte, die aus diesen Grundbegriffen abgeleitet sind, ebenfalls umsetzen: ein Kreis mit gegebenem Radius als die Menge aller Punkte, die ein und denselben Abstand vom gemeinsamen Mittelpunkt haben; rechte Winkel und ihre Unterteilungen; Dreiecke oder andere Vielecke. Die Umsetzung wird niemals perfekt sein – ein noch so fein gearbeitetes Dreieck aus Aluminium hat nicht exakt die gleichen Eigenschaften wie ein mathematisches Dreieck; eine noch so kleine Markierung ist nicht exakt dasselbe wie ein Punkt. Entscheidend ist, dass für die in der wirklichen Welt definierten Entsprechungen der geometrischen Konzepte im Rahmen der Konstruktionsgenauigkeit die gleichen Gesetze gelten wie für ihre mathematischen Gegenstücke: Konstruiert man beispielsweise ein rechtwinkliges Dreieck aus Metall, so lässt sich abschätzen, um wieviel dessen Seitenlängen höchstens von denen eines idealen mathematischen Dreiecks abweichen sollten (Konstruktionsgenauigkeit). Für dieses rechtwinklige Dreieck sollte in guter Näherung der Satz des Pythagoras gelten; etwaige Abweichungen sollten nur so groß sein, wie im Rahmen der gegebenen Konstruktionsgenauigkeit zu erwarten ist.

Physikalische Geometrie: Praxis

Die im vorangehenden Abschnitt angegebenen Zuordnungsvorschriften knüpfen direkt daran an, wie wir die geometrischen Konzepte im Mathematikunterricht lernen, wenn wir Dreiecke zeichnen oder Konstruktionen mit Zirkel und Lineal ausführen, und an die unmittelbarste Definition der Längenmessung: den direkten Vergleich mit einem Maßstab. Das ist ein großer Vorteil; von Nachteil ist, dass in der Praxis oft andere Mess- und Konstruktionsverfahren genauer und einfacher durchzuführen sind. Eben diese Verfahren nutzt auch die Physik für ihre "Geometrie der wirklichen Welt". Damit wird der Anwendungsbereich des geometrischen Modells des Raums erweitert: Erweist sich etwa ein neues Verfahren zur Längenmessung im Rahmen der Messgenauigkeit als äquivalent zur fundamentalen Längenmessung mit unterteiltem Maßstab, dann bietet es sich an, auch die so gemessene Länge als Umsetzung der mathematisch-geometrischen Länge zu betrachten.

Für jede Methode, Geraden zu konstruieren und Abstände oder Winkel zu messen, lässt sich die Genauigkeit abschätzen. Zum einen gelingt dies durch methodenspezifische Untersuchungen, etwa zur Lichtbrechung in der Atmosphäre oder dem Biegeverhalten von Linealen aus bestimmten Materialien. Zum anderen kann man die Messungen ein und derselben Größe wiederholen und feststellen, wie weit die gemessenen Werte voneinander abweichen – in der Physik wie anderswo ein Standardverfahren zur Abschätzung zwar nicht systematischer Fehler, aber derjenigen Grenzen der Messgenauigkeit, die sich aus der Überlagerung einer Vielzahl winziger Störeinflüsse ergeben, wie sie bei jeder praktischen Messung auftreten.

Für jeden Messbereich sollte man die jeweils genaueste und zuverlässigste Methode wählen, um geometrische Konzepte in die physikalische Welt zu übertragen. Bereits sehr alt ist eine Möglichkeit, Geradheit anders als über die Eigenschaften von Festkörpern zu definieren: In alltagsnahen Situationen läuft Licht im Rahmen der Messgenauigkeit im Vergleich mit Linealen auf Geradenabschnitten, breitet sich also geradlinig aus. Es liegt nahe, Licht zur Umsetzung des geometrischen Konzepts der Gerade zu verwenden, und dieses Vorgehen hat sich als höchst erfolgreich erwiesen. Licht-Geraden lassen sich durch bloßes Anvisieren definieren. Theodoliten (Bild rechts), mit denen sich Peilrichtungen mit hoher Präzision bestimmen lassen, gehören zu den genauesten verfügbaren Vermessungsinstrumenten. Hat man die Länge einer Referenzstrecke auf konventionelle Art – etwa mit Maßband oder Messkette – bestimmt, kann man von deren beiden Endpunkten aus zu peilen beginnen, und so weitere Referenzpunkte bestimmen, die markiert und von denen aus dann noch weitere Peilungen vorgenommen werden. Genau so, wie bei einem Dreieck die Längen aller Seiten eindeutig bestimmt sind, sobald zwei Winkel und die Länge einer Seite bekannt sind, lassen sich aus der Länge der Referenzstrecke und einer hinreichenden Anzahl per Theodolit gemessener Winkel die Längen der Verbindungsstrecken zwischen den angepeilten Punkten bestimmen. So kann man die Maße und Position einer Maschine, eines Gebäudes, auf größeren Skalen sogar die Ausmaße und Positionen eines ganzen Landes und seiner Ortschaften ermitteln.

Die Genauigkeit solcher Messungen ist sehr viel höher, als würde man alle betreffenden Teilstrecken konventionell vermessen. Zu der weit größeren Genauigkeit kommt ein vergrößerter Anwendungsbereich: Dadurch, dass hier kein Maßstab direkt an zwei Punkte A und B angelegt werden muss, gelingen Abstands- und Längenmessungen auch dann, wenn zwischen A und B Hindernisse liegen – etwa, wenn es Ziel der Messung ist, den Abstand zweier gegenüberliegender Ecken eines Gebäudes zu bestimmen. Außerdem lassen sich Distanz- und Längenmessungen mit dieser Methode auf große Entfernungen ausdehnen, die durch das Aneinanderlegen von Linealen nicht oder zumindest nicht annähernd so genau vermessbar wären.

Bei solchen Vermessungen werden üblicher Weise mehr Winkel bestimmt, als für die Bestimmung der gesuchten Strecken bzw. Flächen notwendig sind. Das ermöglicht es, die gesuchten Größen auf mehr als eine Art zu berechnen und dann sowohl einen Mittelwert zu erhalten als auch eine Abschätzung der Genauigkeit der Messung vorzunehmen. Gleichzeitig zeigen solche Kontrollmessungen, mit welcher Genauigkeit die Lichtgeraden den Gesetzen der euklidischen Geometrie genügen. Der alte 10-DM-Schein, auf dessen Vorderseite Carl Friedrich Gauß (1777-1855) zu sehen war, zeigte auf der Rückseite nicht nur einen Sextanten, sondern in der rechten unteren Ecke auch ein Netz aus Dreiecken:

Hier ist der entsprechende Ausschnitt vergrößert abgebildet:

Es handelt sich um ein von Gauß bei der Vermessung des Königreichs Hannover angelegtes Vermessungsnetz.

Für die Längenmessung gibt es je nach Gültigkeitsbereich noch weitere genaue Verfahren. Direkt auf der hier eingeführten physikalischen Umsetzung der Geometrie beruht die so genannte "optische Tachymetrie". Sie nutzt aus, dass die Winkelgröße eines Objekts – der Winkel zwischen den Peillinien zur Ober- und Unterkannte des Objekts – umso kleiner ist, je weiter das Objekt von uns entfernt ist. Misst man die Winkelgröße eines Objekts bekannter Länge, z.B. eines senkrecht stehenden Meterstabs, mit Hilfe eines Theodoliten, kann man den Abstand zwischen Meterstab und Theodolit bestimmen.

Modernere, noch genauere Distanzverfahren machen aus einem Theodoliten eine "Totalstation", mit der sich Entfernungen quasi auf Knopfdruck bestimmen lassen. So können Gebäude, aber z.B. auch Schiffs- oder Flugzeugrümpfe automatisch vermessen werden. Die Genauigkeit solcher Messungen ist enorm: bei zu vermessenden Bauteilen mit Gesamtausmaßen von um die 30 Metern liegt sie bei Bruchteilen eines Millimeters. Die Genauigkeit der dabei eingesetzten Verfahren können wir zwar durch praktische Anwendung prüfen, ihr Funktionsprinzip aber derzeit aber noch nicht nachvollziehen, da wir die zur Beschreibung der Bewegung solcher Radio- oder Lichtsignale nötigen Konzepte noch nicht entwickelt haben.

Bezugssysteme für den statischen Raum

Nach diesen Vorbereitungen sind wir zwar noch nicht soweit, dass wir sich bewegende Objekte oder sich verändernde Situationen beschreiben könnten — dazu fehlen Angaben, wie sich Ereignissen (etwa einem Ereignis wie "bewegtes Objekt A passiert den Raumpunkt X") ein Zeitpunkt zuordnen lässt, wie sich also z.B. feststellen lässt, wann sich ein bewegtes Objekt wo befindet. Um solch eine Regel (äquivalent zu einer Definition der Gleichzeitigkeit) wird es im nächsten Teil der Einführung gehen.

Doch zumindest für statische Situationen – in denen sich nichts, oder zumindest nichts wesentliches, verändert, und in denen demnach z.B. alle Abstandsmessungen unabhängig vom Messzeitpunkt den gleichen Wert ergeben – lassen sich mit den bis hierhin eingeführten Zuordnungen kartesische Koordinatensysteme einführen. Ein solchermaßen in den wirklichen Raum eingebettetes Raumkoordinatensystem heißt Bezugssystem. Wenn wir betonen wollen, dass unser Bezugssystem nur für statische Situationen definiert ist, können wir es statisches Bezugssystem nennen.

Ein solches Bezugssystem ist schnell definiert – es reicht, dass wir drei Punkte im Raum benennen, und schon ist die Orientierung der kartesischen Koordinatenachsen entsprechend der oben angegebenen Regeln festgelegt. Dann müssen wir noch eine physikalische Längeneinheit definieren. Wir wählen die von 1960 bis 1983 gültige Definition des Meters als genau festgelegtes Vielfaches der Wellenlänge von Licht eines bestimmten atomaren Übergangs. (Warum die Zeiteinschränkung? 1983 wurde der Meter mit Bezug auf die Ausbreitungsgeschwindigkeit von Licht definiert; das greift den hier entwickelten Grundlagen vor – Ausbreitungsgeschwindigkeiten können wir überhaupt erst definieren, wenn wir eine Zeitkoordinate eingeführt haben.)

In vielen Situationen bietet sich eine bestimmte Definition schon aus praktischen Gründen an. Führt man Vermessungen mit einem Theodoliten durch, so kann es günstig sein, den Nullpunkt des Systems in den Schnittpunkt der beiden Drehachsen des Theodoliten zu legen. Die senkrechte Drehachse und die Bezugsrichtung für die Winkelmessungen des Geräts definieren zwei der drei Koordinatenachsen; mit Hilfe der Rechte-Hand-Regel lässt sich so ein rechtwinkliges Koordinatensystem definieren:

Die Abbildung zeigt nacheinander den Theodoliten samt angepeiltem Zielpunkt, die Peillinie, das mit dem Theodoliten verbundene Koordinatensystem (rote, grüne und blaue Achse) sowie die drei Koordinatenlinien für x-, y- und z-Koordinate des angepeilten Punktes. Aus den zwei am Theodoliten ablesbaren Winkeln sowie aus einer Abstandsmessung des Ortes des Punktes vom Koordinatennullpunkt (letztere bei modernen Theodoliten, die als Laserstation ausgelegt sind, eine weitere mit dem Gerät ausführbare Messung) lassen sich x-, y- und z-Koordinate ausrechnen.

In anderen Situationen dagegen ist das Bezugssystem nicht so direkt an ein Messinstrument – und zum Teil noch nicht einmal an einen physisch markierten Koordinatennullpunkt – geknüpft. Vermisst man beispielsweise ein Gebäude und überträgt die Messwerte in ein Computermodell des Gebäudes, wie es heutzutage zu den Standardwerkzeugen der Architekten gehört, dann ist das Koordinatensystem des Computermodells ein vollkommen legitimes Bezugssystem – allerdings nicht eines, dessen Nullpunkt und Achsenrichtungen notwendiger Weise direkt im Gelände markiert wären.

Eine weitere konkrete Umsetzung eines kartesischen Koordinatensystems – wenn auch nur für einen kleinen Ausschnitt aus dem gesamten Raum – bietet eine Maschine wie diese hier, die in der Feinmechanikwerkstatt des Max-Planck-Instituts für Astronomie steht:

Die Maschine hat einen Arm, an dessen Spitze ein Zeiger sitzt. Eine elektronische Anzeige gibt die aktuellen x,y,z-Koordinaten der Zeigerspitze an, bezogen auf ein durch die Maschine definiertes Koordinatensystem. Rechts ist ein Ausschnitt des Bildes zu sehen, der die Zeigerspitze zeigt: die kleine rote Kugel, die hier gerade auf einem eingespannten Aluminiumwerkstück aufliegt; geführt wird die Scannerspitze an dem am oberen Bildrand sichtbaren Griff (mit rotem Ring). Die Koordinaten jedes gerade angefahrenen Punktes lassen sich durch einfaches Klicken im Computer festhalten. Auf diese Weise lässt sich ein Werkstück hochgenau dreidimensional vermessen, indem man die Zeigerspitze nach und nach an alle die Form definierenden Punkte des Werkstücks führt und die betreffenden Koordinatenwerte x,y,z festhält.

Praktisch oder unpraktisch, konkret oder abstrakt: Es gibt viele verschiedene Arten und Weisen, im physikalischen Raum Koordinaten zu definieren. Und solange die Definition eines bestimmten Koordinatensystem nur in der Tat jedem Raumpunkt – oder zumindest jedem Punkt eines bestimmten Bereichs im Raum – eindeutig Koordinatenwerte x,y,z zuordnet, erfüllt es seinen Zweck: Es stellt einen Bezug her zwischen der physikalischen Welt und einem mathematischen Modell des dreidimensionalen Raums, nämlich dem euklidischen Raum.

Koordinatenwillkür und Transformationen

In diesem Abschnitt möchte ich einige allgemeine Eigenschaften der kartesischen Koordinatensysteme, über die wir unsere statischen Bezugssysteme definiert haben, Revue passieren lassen. Er ist etwas mathematischer als die vorangehenden Abschnitte, kann von ungeduldigen Lesern, die möglichst bald zu relativistischen Effekten wie Zeitdilatation oder Lorentzkontraktion vordringen möchten, übersprungen werden, bietet aber wichtige Informationen zum mathematischen Hintergrund des hier Gesagten (und des mathematischen Hintergrunds der nachfolgenden Ausführungen zur Speziellen Relativitätstheorie).

Wie wir gesehen haben, gibt es viele verschiedene Möglichkeiten, einer statischen Situation kartesische Koordinaten zuzuordnen. Im allgemeinen werden sich dabei die Koordinatenwerte, die zu ein und demselben Raumpunkt gehören, von Koordinatensystem zu Koordinatensystem unterscheiden. Bestimmte Verknüpfungen der Koordinatenwerte dagegen ergeben Größen, die in jedem Koordinatensystem den gleichen Wert haben. Das gilt insbesondere für den durch Koordinatendifferenzen ausgedrückten Abstand zwischen Raumpunkten,

und für aus solchen Abstandswerten zusammengesetzte Größen. Das ist nicht überraschend, denn es spiegelt wieder, dass all die verschiedenen Koordinatensysteme die zugrunde liegende Geometrie, nämlich die Abstände zwischen Raumpunkten oder auch die Winkel zwischen Geraden, die mehrere Punkte verbinden, zutreffend wiedergeben.

Aus Sicht der Geometrie sind die vielen Koordinatensysteme damit äquivalent — es ist egal, welches davon wir wählen; die geometrischen Beziehungen werden in jedem davon korrekt wiedergegeben. Umgekehrt haftet damit jeder Wahl eines Koordinatensystems etwas Willkürliches an. Anstatt in dem gewählten System lässt sich dieselbe Situation genau so gut in einem der unendlich vielen anderen Systeme beschreiben.

Der Übergang von einem möglichen statischen Koordinatensystem zu einem zweiten lässt sich als genau definierte Operation wiedergegeben, nämlich als Kombination von der relativen Lage der beiden Systeme abhängigen Rotation (einer Drehung des Koordinatensystems im Raum), welche die Achsen des ersten Koordinatensystems so dreht, dass sie anschließend parallel zu den Achsen des zweiten Systems sind, und einer nur vom Abstand der beiden Koordinatennullpunkte abhängigen Translation (einer Verschiebung des Koordinatensystems um eine bestimmte Distanz in eine bestimmte Richtung), durch deren Ausführung der Nullpunkt des ersten Koordinatensystems zum Nullpunkt des zweiten Koordinatensystems verschoben wird. Wendet man diese Operation auf das erste Koordinatensystem an, dann ist das Ergebnis das zweite Koordinatensystem. Hier ist der Prozess beispielhaft dargestellt; gezeigt wird skizzenhaft, wie ein Koordinatenkreuz in ein anderes überführt wird:

alt

Führt man zwei solche Operationen hintereinander aus (und überführt damit z.B. Koordinatensystem A in Koordinatensystem B und anschließend Koordinatensystem B in Koordinatensystem C), entspricht die Kombination wieder einer Operation der gleichen Art, nämlich einer Rotation und einer Translation (derjenigen Kombination aus Rotation und Translation nämlich, die das Koordinatensystem A direkt in das Koordinatensystem C überführt). Auch längere "Ketten" von Operationen sind eindeutig definiert, sobald man nur jede der Teiloperationen angibt und sagt, in welcher Reihenfolge die Teiloperationen ausgeführt werden. Für jede Operation gibt es eine eindeutig bestimmte "Anti-Operation", welche die erste Operation rückgängig macht, sprich: Gibt es eine Operation, die das Koordinatensystem A in das System B überführt, so existiert immer auch eine Operation, die B in A überführt. Mathematisch gesprochen bilden Operationen mit diesen Eigenschaften eine so genannte Gruppe.

Die Gruppe der Operationen, welche die verschiedenen äquivalenten Koordinatensysteme ineinander überführen, heißt unter Mathematikern "Symmetriegruppe des [dreidimensionalen] euklidischen Raums" oder "Gruppe der Bewegungen", abgekürzt ISO(3) oder E(3).

Interessanterweise lässt sich die Geometrie des euklidischen Raums direkt aus den Eigenschaften der Gruppe ISO(3) rekonstruieren. Vereinfacht gesagt: Die Eigenschaften der Operationen definieren die Invarianten der Gruppe, also diejenigen Größen, die bei der Operation unverändert bleiben. Diese Invarianten sind Abstände in dem durch die Koordinatensysteme definierten Raum (und daraus abgeleitete Größen), und damit die grundlegenden Elemente der euklidischen Geometrie des Raums.

Auch hier sei angemerkt, dass sich äquivalente Konstruktionen auch mit anderen als kartesischen Koordinaten durchführen lassen, etwa mit Kugelkoordinaten. Das Ergebnis ist die gleiche für den zugrundeliegenden Raum charakteristische Symmetriegruppe.

Die in diesem letzten Abschnitt angesprochenen allgemeineren Eigenschaften werden uns in dieser Einführung noch weiter begleiten, und sie spielen auch in anderen Teilen der Physik eine wichtige Rolle. Allgemein haben wir es mit einem zugrunde liegenden mathematischen Gebilde zu tun (hier: mit dem euklidischen Raum), das sich nur durch Wahl von Koordinaten (hier: eines kartesischen Koordinatensystems) allgemein beschreiben lässt. Doch jede konkrete Koordinatenwahl ist willkürlich; es gibt unendlich viele gleichwertige Möglichkeiten. Die verschiedenen Wahlmöglichkeiten lassen sich durch Transformationen (hier: die Rotation-plus-Translation) ineinander überführen. Die Transformationen bilden eine Gruppe (hier die ISO(3)); die Invarianten der Gruppe wiederum sind eine Möglichkeit, das zugrunde liegende mathematische Gebilde zu charakterisieren.

Im nächsten Abschnitt geht es weiter mit: Zeitmessung, Gleichzeitigkeit, evt. auch schon Bezugssystemen und Inertialsystemen.

Soweit der Entwurf des ersten Teiltextes. Veränderungen, die sich aus der hier geführten Diskussion ergeben, werde ich direkt umsetzen; der originale Entwurf bleibt zum Vergleich auf einer zu diesem Blogeintrag gehörigen Hintergrundseite erhalten. Stellt sich in der Diskussion heraus, dass einige Leser Zusatzinformationen wünschen, von denen ich meine, dass sie den Fluss des Textes stören würden, wandern die Zusatzinformationen ebenfalls auf die Hintergrundseite (und werden vom Haupttext aus verlinkt).

Für die Kommentare zu diesem Beitrag gilt: Der obige Text stellt den ersten Schritt einer Einführung in die Spezielle Relativitätstheorie dar; die Diskussion sollte auf den hier behandelten Themenbereich beschränken und insbesondere nicht auf das vorgreifen, was erst in den nachfolgenden Teilen der Einführung angesprochen wird. Diskussionsbeiträge, von denen ich den Eindruck habe, dass sie den geordneten Fluss der Diskussion eher behindern als fördern, und die ich daher nicht auf dieser Seite freischalten möchte, landen ebenfalls auf der Hintergrundseite. Die Kommentare sind moderiert, werden von mir also jeweils erst freigeschaltet; daher bitte Geduld, wenn Sie einen Kommentar eingestellt haben, dieser aber nicht gleich unten auf dieser Seite erscheint!

Meine eigenen Antworten werde ich der Übersichtlichkeit halber farblich abgehoben direkt an den Kommentar anhängen, auf den ich antworte.