Was bedeutet eigentlich Einsteins Formel E=mc² ?
Keine Formel der modernen Physik, ja der Physik überhaupt, ist in der allgemeinen Öffentlichkeit wohl so bekannt wie die Einsteinsche Formel E = mc². Man findet sie auf Briefmarken, kleine Kinder raunen sie einem manchmal mit wissendem Gesichtsausdruck zu, und manchmal findet sie den Weg in das Feuilleton einer überregionalen Zeitung. Viele wissen wohl, dass diese Formel irgendetwas mit einer Äquivalenz von Masse und Energie zu tun hat und dass das bei einer Atombombe und bei einem Atomreaktor eine große Rolle spielt. Diese Formel ist für viele so der Inbegriff der modernen Physik mit all ihren schrecklichen Möglichkeiten und "Geheimnissen" geworden und ein Kommentator eines meiner Blogartikel verstieg sich sogar zu der Aussage, dass "Einsteins Formel E = mc² die Komplexität des Universums auf fünf Zeichen komprimiert."
Nun, so hintergründig diese Formel auch ist, die Komplexität des Universum ist wohl doch noch von einem anderen Kaliber. Das sieht man schon daran, dass man diese Formel recht gut verstehen kann, während wir von der Komplexität des Universums wohl höchstens erste Ahnungen haben. Einstein hat diese Formel im Jahre 1905 veröffentlicht; das war das "Wunderjahr", in dem Einstein fünf Arbeiten veröffentlichte, die allesamt große Fortschritte in verschiedensten Zweigen der Physik brachten und die heute die Zäsur zwischen klassischer und moderner Physik markieren. Der Begriff der Energie war damals in der Physik noch gar nicht so lange eingeführt. Zwar hatte man schon vereinzelt beobachtet, dass bestimmte Größen bei Bewegungen immer den gleichen Wert behalten, auch dass bei der Erzeugung von Wärme ein bestimmtes "Agens", das man "Kraft" nannte, irgendwie auch erhalten ist. Aber es war damals erst etwa 50 Jahre her, dass Hermann von Helmholtz in dem Aufsatz "Über die Erhaltung der Kraft" für verschiedenste physikalischen Prozesse zeigen konnte, dass es eine Größe gibt, die zahlenmäßig stets gleich bleibt, und dies gleichgültig, ob sie in Form von Bewegung, Wärme oder von elektrischen Spannungen und Strömen auftritt und demnach auch jeweils anders berechnet werden muss. Da dies aber keine Größe von der Art der Newtonschen Kraft war, musste man ihr einen neuen Namen geben und der Vorschlag, diese Größe Energie zu nennen, wurde bald allgemein akzeptiert.
Die Masse in der Relativitätstheorie
Einstein kam nun also 1905 in seiner dreiseitigen Arbeit "Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?" zu der Folgerung: "Gibt ein Körper die Energie L in Form von Strahlung ab, so verkleinert sich seine Masse um L/c². Hierbei ist es unwesentlich, dass die dem Körper entzogene Energie gerade in Energie der Strahlung übergeht, [...]. Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt". (Mit c wird immer die Lichtgeschwindigkeit im Vakuum bezeichnet.) Ich will hier nicht die Überlegungen Einsteins wiederholen, die ihn zu dieser Aussage geführt haben. Heute, nach der Etablierung der speziellen Relativitätstheorie, liegt eine andere Begründung nahe, die sofort auch die ganz andere Sicht auf den Begriff der Masse liefert.
Der Schlüssel zu dieser Sicht ist die Formel (mc²)² = E² - (pc)², die zwanglos aus dem Formalismus der Relativitätstheorie folgt. Dabei bedeutet E die Energie eines Körpers, p sein Impuls und m zunächst nur eine Größe, die unabhängig vom Bezugssystem ist, von dem aus ein Beobachter Energie und Impuls misst. Wenn man aber aus dieser Formel die Energie für einen Körper ausrechnet, und zwar bei Geschwindigkeiten, die sehr klein gegenüber der Lichtgeschwindigkeit c sind, dann wird man darauf geführt, dass nun m genau die Masse der Newtonschen Physik bedeutet. Somit können wir diese Größe auf der linken Seite der Formel auch in der speziellen Relativitätstheorie als Masse bezeichnen, müssen aber damit rechnen, dass sich nun auch neue Eigenschaften der Masse zeigen.
Eine neue Eigenschaft der Masse
Zunächst betrachten wir den Fall, dass sich der Körper in Ruhe befindet, also den Impuls Null besitzt. Dann ergibt sich E = mc², also genau die berühmte Formel, und wir sehen hier, dass es die Ruheenergie ist, die in dieser so viel zitierten Formel gemeint ist, nicht die Energie des Körpers überhaupt, denn die ist ja größer, wenn der Körper einen Impuls bzw. eine Geschwindigkeit besitzt. Die Ruheenergie ist also äquivalent mit der Masse im Sinne der Formel E = mc², oder besser noch ausgedrückt, die Masse ist in diesem Sinne äquivalent zur Ruheenergie, ist ein "Maß für dessen Energieinhalt". Nur die Ruheenergie kann natürlich diesem Energieinhalt entsprechen, da dieser wie die Masse unabhängig davon sein sollte, von welchem Bezugssystem aus man ihn misst.
Das ist also eine ganz neue Eigenschaft der Masse. Was aus dieser Eigenschaft, ein Maß für den Energieinhalt bzw. die Ruheenergie zu sein, unter anderem folgt, will ich jetzt zeigen.
Die Gesamtmasse ist nicht gleich der Summe der einzelnen Massen
Der Bewegungszustand eines Körpers wird in der Relativitätstheorie durch einen vierdimensionalen Impulsvektor beschrieben, dessen Koordinaten durch die Energie und den Impuls bzw. die Geschwindigkeit des Körpers bestimmt sind. Bei einem System von zwei Körpern ergibt sich der vierdimensionale Impulsvektor des System einfach durch Addition der entsprechenden vierdimensionalen Impulsvektoren der einzelnen Körper, und die Masse des Systems erhält man durch eine Rechnung analog zu (mc²)² = E² - (pc)², wobei jetzt m, E und p für die Größen des Systems stehen. Das Verblüffende ist nun, dass die Masse dieses Zweikörpersystems nicht einfach gleich der Summe der Massen der einzelnen Körper ist, ja, dass sie sogar auch noch von den Geschwindigkeiten der einzelnen Körper abhängt. Erst, wenn man wieder zu kleinen Geschwindigkeiten übergeht, ergibt sich wieder die Additivität der Massen, wie man sie aus der Newtonschen Mechanik kennt.
Ein besonders krasser Fall von Nicht-Additivität ist folgender: Seien die beiden Körper ein Elektron und eine Positron (Anti-Elektron), deren Impulse entgegengesetzt sind, so dass der Gesamtimpuls verschwindet. Die Masse dieses Systems ist aber ungleich Null, denn Elektronen wie Positronen besitzen ja eine Masse. Wenn diese in zwei Photonen zerstrahlen, so ändern sich nicht Gesamtimpuls und Gesamtenergie und damit bleibt auch die Masse des Gesamtsystems gleich. Das System von zwei Photonen besitzt dann also eine Ruheenergie bzw. Masse, obwohl die Konstituenten des Systems, die Photonen selbst keine Masse besitzen. Entscheidend für die Masse eines Gesamtsystems ist also dessen Ruheenergie; ob die Konstituenten dabei selbst massiv sind oder nicht, spielt keine Rolle. Hier haben wir sogar den Extremfall, dass die Konstituenten, die beiden Photonen, gar keine Masse besitzen und die Masse des Gesamtsystems sich nur aus ihren elektromagnetischen Energien, den Photonenergien zusammen setzt.
Beispiele für die Nicht-Additivität von Massen
Dass auf diese Weise Energieformen auch zur Masse eines Systems beitragen können, sieht man auch deutlich bei der Erwärmung eines Körpers. Die einzelnen Konstituenten erhalten dadurch im Mittel eine größere Bewegungsenergie, die Ruheenergie des Körpers erhöht sich dabei und somit auch seine Masse, obwohl die Summe der Massen der einzelnen Konstituenten gleich bleibt. Natürlich ist der relative Massenzuwachs so klein, dass man ihn bisher nicht messen kann, er ist z.B. von der Größenordnung 10 hoch -12 bei einer Temperaturerhöhung von 200 Grad Celsius eines Eisens, wie L.B. Okun ausgerechnet hat. Das, was wir in der Newtonschen Physik als Zuwachs von Energie in Form von Wärme bezeichnen, ist hier also nun ein Zuwachs von Masse. So zeigt sich hier die Äquivalenz von Energie und Masse.
Wenn man andererseits bei einem Atom oder Atomkern die Massen des Gesamtsystems mit der Summe der Massen der Konstituenten vergleicht, entdeckt man nicht einen Massenzuwachs sondern einen so genannten Massendefekt, die Masse des Gesamtsystems ist kleiner. Der Zusammenhalt dieser Systeme wird jeweils durch eine anziehende Kraft bewirkt, und zwar durch die elektromagnetische bzw. die "starke" Kraft. Das Wasserstoff-Atom (bestehend aus einem Proton und einem Elektron) bzw. das Deuteron (bestehend aus einem Proton und einem Neutron) sind die einfachsten solcher Bindungszustände. Die Energie, die man aufwenden muss, um solche Bindungszustände in ihre Konstituenten zu trennen, nennt man Bindungsenergie. Somit ergibt sich hier die Ruheenergie des Atoms bzw. Atomkerns als Summe der Ruheenergien der Konstituenten abzüglich der Bindungsenergie.
Beim Wasserstoff-Atom sind die Ruheenergien vom Proton und Wasserstoff-Atom in der Größenordnung von 10 hoch 9 eV. Die Ungenauigkeit, mit der man diese Ruheenergien bzw. Massen bestimmen kann, liegt in der Größenordnung von 80-100 eV. Die Bindungsenergie kann man andererseits leicht im Rahmen der Quantenmechanik berechnen, jeder Physik-Student lernt das einmal. Diese ergibt sich für eine Elektron im Grundzustand zu etwa 13,6 eV und ist so in der Größenordnung der Messunsicherheit, so dass man bisher nur sagen kann, dass die Bilanz im Rahmen der Messfehler stimmt.
Bei Atomkernen nun ist die Bindungsenergie sehr viel größer, aus dem Massendefekt erhält man Werte von 1 bis etwa 8,5 MeV, bezogen auf ein Nukleon. Beim Helium ergibt sich etwa 1,7 MeV pro Nukleon, mit zunehmendem Atomgewicht steigt die Bindungsenergie pro Nukleon steil an, erreicht bei Atomen mit 40 bis 70 Nukleonen ihre höchsten Werte von 8-8,5 MeV, um dann wieder etwas abzufallen; bei Uran beträgt sie z.B. noch 7,6 MeV. Da die Masse eines Nukleons etwa 10 hoch 9 eV = 1000 MeV beträgt, ist hier der relative Massendefekt in der Größenordnung von 10 hoch -3 (statt 10 hoch -8 wie beim Wasserstoff-Atom oder 10 hoch -12 beim relativen Massenzuwachs bei der Erhitzung des Eisens).
Eine Energie von 1 MeV entspricht etwa 0,4 x 10 hoch -19 kWh, das ist nicht viel, aber wenn nun etwa 10 hoch 23 Wasserstoffkerne und Neutronen fusionieren, und dabei auch nur ein Gramm Masse in Energie in Form von Strahlung umgewandelt würde, erhielte man 25 Millionen Kilowattstunden an Energie. Eine Fusion von Atomkernen findet ständig in unserer Sonne statt, ja, aus solchen Prozessen beziehen alle Sterne ihre Strahlungsenergie. Die Sonne verliert dabei pro Sekunde vier Millionen Tonnen an Materie.
Andererseits kann man von Atomen mit sehr hohem Atomgewicht Energie in Form von Strahlung beim umgekehrten Prozess gewinnen, d. h. bei der Spaltung des Atomkerns. Da die Spaltprodukte größere Bindungsenergien besitzen, ist die Summe der Massen der Spaltprodukte nun kleiner als die des Ausgangskerns, die Differenz geht in Strahlung über. Das gilt umso mehr, je höher das Atomgewicht des Ausgangskerns ist. Deshalb ist z. B. Uran mit dem Atomgewicht 235 ein wichtiges Spaltmaterial.
Anmerkungen:
i) Der Leser, der schon einiges über dieses Thema gelesen hat, wird vielleicht bemerkt haben, dass nirgendswo im Text die Worte "relativistische Masse" oder "Ruhemasse" auftreten. Diese Begriffe sind überflüssig und führen höchstens zur Verwirrung. Der Begriff der Masse als Äquivalent zur Ruheenergie reicht völlig aus.
ii) Die Idee, dass man die Masse in irgendeiner Weise mit einer Energie in Beziehung setzen können sollte, wurde auch schon vor Einstein geäußert. Man hatte sich klar gemacht, dass die Beschleunigung eines elektrisch geladenen Teilchens mehr Energie benötigt als die eines neutralen: Ein bewegtes geladenes Teilchen entspricht ja einem Strom und dieser erzeugt ein Magnetfeld. Nun besitzt ein Magnetfeld eine Energie und diese muss also zusätzlich bereit gestellt werden. Wieder war es Poincaré, der dem letztgültigen Ergebnis am nächsten gekommen war, er hatte schon klar ausgesprochen, dass der Trägheit auch eine Energie zugeordnet werden muss. Aber erst Einstein konnte diese Idee konkretisieren, allgemeiner fassen und für Nachprüfungen aufbereiten.
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Wie ist das mit dem Teilchenbeschleuniger? Da wird doch auch ein Proton losgeschickt und meinetwegen neue Teilchen mit 1000 Protonenmassen entstehen beim Aufprall.
Warum kann man da nicht sagen: 1000 relativistische Protonenmassen sind unterwegs.
1000 Ruheprotonenmassen kommen an.
Hallo Herr Honerkamp,
Sie schreiben:
„Diese Formel ist für viele so der Inbegriff der modernen Physik mit all ihren schrecklichen Möglichkeiten und "Geheimnissen" geworden und ein Kommentator eines meiner Blogartikel verstieg sich sogar zu der Aussage, dass "Einsteins Formel E = mc² die Komplexität des Universums auf fünf Zeichen komprimiert."
Sicher übertreibt der Kommentator da etwas.
Ich habe mir mal die Mühe gemacht, das ist mein Hobby, und diese Gleichung unter funktionalen Gesichtspunkten betrachtet. Es lässt sich tatsächlich mit dieser Gleichung noch viel mehr erklären. Einschränkend bemerkt, sie ist zumindest ein wesentlicher Ausgangspunkt für diese Erklärungen. So z. B. für die Erklärung, wie Trägheit und Schwere quantenphysikalisch funktionieren. Ich bin mir ganz sicher, dass die etablierte Wissenschaft das eines Tages auch noch erkennen wird.
Joachim Blechle
Lieber Herr Honerkamp,
ich verstehe ihre Abneigung gegen die Meinung, daß die ganze Komplexität des Universums in Einsteins Formel komprimiert sei. Gut finde ich aber den Gedanken, daß die Sprache der Mathematik eine maximale Komprimierung ist. Sprache muß stark komprimieren, weil unser begrenztes Auffassungsvermögen (circa 10-20 Bit pro Sekunde) nur sehr kleine Informationshäppchen bewußt verarbeiten kann. Mathematik treibt die Komprimierung auf die Spitze, nur 5 Zeichen reichen für einen Nobelpreis.
Einsteins Formel ist wohl nur die maximale Komprimierung des komplexen Zusammenhangs von Energie, Masse und der Lichtgeschwindigkeit, und sie sagt garnichts über den Formenreichtum, den wir in der Natur feststellen können.
Da gibt es inzwischen Formeln, die den Formenreichtum der Natur imitieren und kosmische Gestaltungen auf jedem PC sichtbar machen, und das merkwürdigste: Diese Formeln sind fast genau so kurz, quadrierend, mit einem C, das aber eine andere Bedeutung hat, nicht Lichtgeschwindigkeit sondern Control, dieser Wert hat eine variable steuernde Funktion.
Mein favorisiertes Modell von Benoid Mandelbrot: Z(n+1) = Zn² + C
hat in folgendem Video eine Zoomfahrt durch seinen Kosmos anschaulich gemacht, mit Musik von Pink Floyd unterlegt.
http://www.youtube.com/watch?v=j-_OOPBF6BA
"Relativistische Protonenmassen" und "Relativistische Ruhemassen" sind keine klaren Begriffe. Aber: Bei einer Proton-Proton Streuung trifft ein Proton mit der Energie E und Impuls p auf ein anderes mit Energie E und Impuls -p. Das Gesamtsystem hat dann die Masse 2E/c2, nach dem Stoß auch, aber dann besteht es aus vielen Teilchen mit verschiedensten Energien, Impulsen und Massen, wobei die Masse eines jeden Teilchens jeweils der entsprechenden Ruheenergie entspricht, d.h. es ist für jedes dieser Teilchen E = Wurzel aus ( m2 c4 + (pc)2 ) mit entsprechenden m und p.
Die lang ersehnte Umrechnungstabelle:
E = m*c^2
c = 3*10^8 m/s
1 kg Masse = 9*10^16 Joule
1 Megatonne TNT = 4,184*10^15 Joule
1 kg Masse = 21,5 Megatonnen TNT-Äquivalent
Man benötigt aber nur die halbe Menge Antimaterie:
0,5 kg Materie + 0,5 kg Antimaterie = 21,5 MT
Einheiten:
1 t = 1000 kg Masse
1 T = 1000 kg TNT-Äquivalent
1 t Masse = 21,5 Gt TNT-Äquivalent
1 kg Masse = 21,5 Mt TNT-Äquivalent
1 g Masse = 21,5 kt TNT-Äquivalent
1 mg Masse = 21,5 t TNT-Äquivalent
1 µg Masse = 21,5 kg TNT-Äquivalent
1 ng Masse = 21,5 g TNT-Äquivalent
Video, weil es so schön ist, die 50 Megatonnen Zar-Bombe:
http://www.youtube.com/watch?v=16cewjeqNdw
Zitat“Das Gesamtsystem hat dann die Masse 2E/c2“
Würden sie folgender Rechnug zustimmen? Ein Proton habe die Masse m. Zwei Protonen laufen frontal jeweils mit 0,96*c aufeinander zu:
Die kinetische Energie für ein einzelnes Proton errechnet sich zu m*(18/7)*c²
Die kinetische Energie für beide Protonen errechnet sich zu m*(36/7)*c²
Aus der kinetischen Energie beider Protonen entstehen neue Teilchen mit der Masse: m*(36/7)
Zählt man noch die Masse der beiden Protonen hinzu so registriert der Teichendetektor eine Masse von m*(50/7)~m*7,14
Dass der Energieinhalt - die Ruheenergie - eines Systems seine träge Masse ist, scheint mir eine wirklich nicht-triviale Erkenntnis, denn intuitiv denkt man bei Masse an Substanz. E= mc² ist also ein grosser Schritt hin zu einer Physik, die Wahrheiten entdeckt, welche wir nicht einmal in unseren verrücktesten Träumen erwarteten - wenn es auch nur ein kleiner Schritt für den ist, der es auf die Schiefertafel schreibt.
Nein.
Lassen Sie es mich mit v=0,6 c rechnen, dann folgt für einen bestimmten Faktor gamma, der in den Formeln eine Rolle spielt: gamma=1/wurzel (1-(v/c)^2) = 5/4.
Dann hat jedes Proton der Masse m die Energie 5/4 mal mc^2 und insgesamt hat das System von zwei Protonen die Ruheenergie 10/4 mal mc^2. Diese Energie wird umgesetzt in Energie der neu entstehenden Teilchen, und diese Energie manifestiert sich jeweils in Form von Masse und Bewegungsenergie, d.h. Es ist 10/4 mal mc^2 = E_1 + ... + E_n mit E_i = Wurzel (m_i^2 c^4 + (p_i c)^2 ).
Also:
-Die beiden Protonen sind hinterher nicht mehr da und ihre Energie steckt in den Energien der Endprodukte.
- von kinetischer Energie soll man hier nicht reden, da sie nicht erhalten ist. Nur mit den Energien, die sich aus Masse und Bewegungsenergie (Klassische kinetische Energie + relativistische Erweiterungen) zusammensetzen (siehe E_i), lassen sich Bilanzgleichungen aufstellen.
Na gut, die Masse beider Protonen zusammen betrage 2*m. Deren Ruheenergien betragen dann 2*m*c².
Nachdem sie auf 0,6*c bescheunigt wurden, betragen deren Energien zusammen 2,5*m*c².
Jetzt treffen sie in einem „Teilchenfänger“ zusammen. Nichts kann diesem Teilchenfänger entweichen, weder irgendwelche neuen Teilchen, noch irgendeine andere Form von Energie.
Würde man nun diesen „Teichenfänger“ auf eine Waage legen, würde sein Gewicht dann nicht um 2,5*m*g höher liegen als vorher?
Ich glaub nämlich, das ist der springende Punkt, der viele Physiklaien interessiert.
Nochwas zu der Formel, die sie angegeben haben:(mc²)² = E² - (pc)².
Wenn ich die nämlich folgendermaßen umstelle…
E²/c^4=m²+p²/c²
…so seh ich doch. Aha, da haben wir eine Protonenmasse m und einen Impuls p und die linke Seite muss größer als m² sein.
Dann sieht auch der Mathelaie, auch wenn er keine Ahnung hat, wofür E und
c stehen, dass E/c² dieselbe Einheit wie m haben muss…
…dass also unter speziellen Umständen E/c² eine korrekt anständige, wägbare Masse sein kann.
1) "Würde man nun diesen „Teichenfänger“ auf eine Waage legen, würde sein Gewicht dann nicht um 2,5*m*g höher liegen als vorher?"
Ja! Wenn ein Objekt die Masse m hat, dann bringt es auch m "auf die Waage". Das ist der Sinn von m. In den drei Beispiel zur Nicht-Additivität der Massen ist das ja genau ausgeführt. Ein heißes Eisen ist schwerer als ein kaltes. Das überrascht uns, weil wir das nie beobachtet haben, aber der Effekt ist eben sehr klein.
2) " …dass also unter speziellen Umständen E/c² eine korrekt anständige, wägbare Masse sein kann."
Stimmt! Aber die Tatsache, dass zwei Größen die gleiche Dimension haben, heißt noch nicht, dass sie physikalisch in irgendeinem Sinne gleich sein müssen. Quantenfeldtheoretiker setzen z.B. c= hquer =1, dann haben alle Größen nur noch die Dimension "Länge" oder sind dimensionslos. In diesem Maßsystem müsste man dann sonst folgern, dass alle Größen physikalisch gleich oder äquivalent wären. Nun könnte man aber doch die Idee haben, dass sie etwas miteinander zu tun haben. Dann ist das auch noch nichts. Denn man muss ja erst zeigen, dass sie wirklich etwas mit einander zu tun haben und wie genau. Und das in einer Theorie, aus der das stringent folgt. Ideen sind leicht zu haben, Theorien aber nicht.
So hat man auch Jahrhunderte lang beobachtet, dass träge und schwere Masse bei allen Objekten (nicht nur die gleiche Dimension sondern sogar ) den gleichen Wert besitzen, und man hatte keine Erklärung dafür. Bis Einstein eine Theorie aufstellte, die Allgemeine Relativitätstheorie, die Erfolg hatte und in der es nur einen Begriff von Masse gibt, die Unterscheidung von träger und schwerer Masse also obsolet wird.
Erst mal Danke für ihre Antworten. Jetzt hätte ich noch eine kleine Frage.
Folgende Formel hatten sie ja schon in einer anderen Form präsentiert.
E/c²=Wurzel(m²+p2/c²)
Obige Formel ergibt sich auch, wenn man die beiden Gleichungen kombiniert.
Für den Impuls
p=m*v/Wurzel(1-v²/c²)
Für die Energie
E/c²=m/Wurzel(1-v²/c²)
Um Physiklaien hier nicht komplett zu verwirren, sollte man erwähnen, dass es früher noch üblich war statt E/c² die “relativistische Masse” einzusetzen.
Sieht man es heute wohl so?
1. Solange das Objekt unterwegs ist, hat es die Masse m. E/c² sagt lediglich etwas über den gesamten Energieinhalt aus.
2. Wird das Objekt eingefangen, wobei nichts von seiner Energie entweichen kann, dann erhöht sich die Masse seines “Käfigs” um E/c²=m/Wurzel(1-v²/c²).
Beispiel: Eine Masse m ist mit 99,9% Lichtgeschwindigkeit unterwegs.
E/c²=m/Wurzel(1-0,999²)~22*m
Die so genannte relativistische Masse E/c² ist gleich c mal der Null-Komponente des Impuls-Vierervektors und ist damit keine Lorentz-Invariante. Die Masse ist aber ein Lorentz-Invariante. Es ist also sowohl überflüssig, von relativistischer Masse zu reden (diese wäre ja bis auf c² gleich der Energie) wie auch irreführend, weil sie nun eine Masse mit einem ganz anderen Charakter wäre, nämlich keine Invariante mehr.
Außerdem erhöht sich in Ihrem Beispiel die Masse des "Käfigs" nicht um E/c². Die Sache ist etwas komplizierter. Man muss Energie und Impuls-Erhaltung berücksichtigen, und m ist wieder nur die Ruhemasse des Käfigs. Es gilt wieder (mc²)² = E² - (pc)² für alle Größen des Käfigs.
„Außerdem erhöht sich in Ihrem Beispiel die Masse des "Käfigs" nicht um E/c²“
Wie schaut es aber dann aus, wenn der Käfig sehr groß ist, gegenüber der Masse, die eingefangen wird? Dann haben wir so was wie einen unelastischen Stoß und bei der großen Käfigmasse können wir die resultierende kinetische Energie des Käfigs vernachlässigen. Ich möchte das mal an einem Rechenbeispiel demonstrieren.
Ein 1000-Tonnenmeteorit ist unterwegs zur Erde und zwar mit 30km/s=c/10000
Die Masse, die er zur Erde mitbringt errechnet sich doch dann zu.
E/c²=(1 000 000 000Gramm)/Wurzel(1-0,0001²)~1 000 000 005Gramm
Massendifferenz = E/c²-m = m/Wurzel(1-v²/c²)-m~0,5*m*v²/c²
Die Näherungsformel gilt natürlich nur dann, wenn v
Die Näherungsformel gilt natürlich nur dann, wenn v
Warum zum Geier wurde gestern mein Resttext einfach verschluckt? Ich probiers nochmal.
Die Näherungsformel gilt natürlich nur dann, wenn v
Das liegt an der spitzen Klammer. Mit spitzen Klammern könnte Schadcode eingefügt werden. Html-Entitäten müßten aber gehen. Ich probiere es direkt mal aus.
< >
Also mit
< = < und
> = >
geht es.
Hier der relativistische total unelastische Stoß:
Sei m_1, v_1 Masse und Geschwindigkeit von Teilchen 1, m_2,v_2 entsprechend von Teilchen 2, dann gilt für den Viererimpuls von Teilchen 1 ( es ist gamma_i=1/wurzel( 1-(v_i/c)^2) ) ):
P_1 = (m_1 gamma_1 c, m_1 gamma_1 v_1), entsprechend für Teilchen 2:
P_2 = (m_2 gamma_2 c, m_2 gamma_2 v_2), und somit für das "Ergebnis" nach total unelastischem Stoß:
P = P_1 + P_2 = ( (m_1 gamma_1 + m_2 gamma_2)c, m_1 gamma_1 v_1 + m_2 gamma_2 v_2 )
und die Masse M für das "Ergebnis" errechnet sich aus P^2 = M^2 c^2, also
M^2 = (m_1 gamma_1 + m_2 gamma_2)^2 - (m_1 gamma_1 v_1/c + m_2 gamma_2 v_2/c)^2 .
Man muss also nur die Viererimpulse bilden, addieren und wieder die Masse des Objektes mit Hilfe von m^2c^2 = (E/c)^2 - p^2 bestimmen.
Man kann das auch im Schwerpunktsystem tun, dann lautet die Addition der Viererimpulse
(Mc , 0)= (wurzel (m_1^2 c^2 + p^2) , p ) + (wurzel (m_2^2 c^2+ (-p)^2) ,-p) . Die Masse, die man daraus errechnet, stimmt mit der aus der ersten Formel überein, wenn man p durch v ersetzt.
Die Energie, die man in der nichtrelativistischen Betrachtung als (durch den unelastischen Stoß erzeugte) Wärmeenergie bezeichnet, ist nun in der Masse enthalten (vgl. erhitztes Eisen wird schwerer).
„P_1 = (m_1 gamma_1 c, m_1 gamma_1 v_1)“
Ich muss zugeben, das versteh ich nicht. Der Impuls sollte doch sein: m*v*Gamma?
Was hat m*gamma* c davor zu bedeuten?
Wie gesagt, ich denke, was ich mir da ausgedacht habe, ist für die meisten Menschen mit nicht so hoher mathematischer Bildung noch am leichtesten zu verstehen.
Zum Beispiel folgende Aufgabe:
Weisen sie nach dass für v = viel kleiner als c gilt:
(E/c²-m)*c²=(kinetische Energie von m)
Siehe Rechenbeispiel Meteorit.
Auf meiner Homepage hab ich das ein wenig näher erläutert (einfach auf meinen Namen klicken). Wen‘s interessiert.
Artikel 6. Absatz:
"Hier haben wir sogar den Extremfall, dass die Konstituenten, die beiden Photonen, gar keine Masse besitzen und die Masse des Gesamtsystems sich nur aus ihren elektromagnetischen Energien, den Photonenergien zusammen setzt."
-> Wenn hier nicht mal die Lösung für die fehlende Materie/Masse (dunkle Materie und Energie) im sichtbaren Universum versteckt sei...!?
"Ich muss zugeben, das versteh ich nicht. Der Impuls sollte doch sein: m*v*Gamma?".
Hier ist es der Viererimpuls, der gemeint ist. Mit solchen Lorentz-kovarianten Größen sollte man stets Gleichungen formulieren, damit man sofort merkt, wenn man das Relativitätsprinzip verletzt. Nur so kommt man zu verlässlichen Ergebnissen.
Ich fürchte, ohne bestimmte Kenntnisse in Mathematik kommt man hier nicht auf einen grünen Zweig, verrennt sich zu häufig in Widersprüche, weil man bestimmte Aussagen nicht richtig interpretieren kann.
:-), ja, ich fürchte nur, da wären uns schon viele zuvor gekommen. :-))
@Josef Honerkamp
Da meine Physik und Mathekenntnisse irgendwo zwischen Realschul und Abiturniveau liegen, bin ich wahrscheinlich mit dem Viererimpuls ein wenig überfordert.
Aber ist es nicht so, dass man viele Sachen der SRT auch mit Realschulmathematik erklären kann? Wieviele Menschen werden wohl hier mitlesen, die noch nicht mal Realschulniveau haben, was Mahtematik anbelangt?
Was ist falsch an meiner simplen Näherungslösung mit dem Meteoriten?
(E/c²-m)*c²=[m/Wurzel(1-v²/c²)-m]*c²~(0,5*m*v²/c²)*c²~kinetische Energie.
Nicht ganz korrekt, genau wie 0,5*m*v² für die kinetische Energie, dafür aber vielleicht sogar für aufgeweckte Hauptschüler verstehbar.
Nochwas zu der Umrechnungstabelle von Karl Bednarik.
Ich würde da lieber einen etwas “pazifistischeren” Vergleich vorziehen. Wieviel Energie steckt maximal in einem kg Masse?
1kg*c²=9*10^16Joule=2,5 Milliarden Kwh=2,8Millionen Kilowattjahre.
Damit könnte man beispielsweise eine elektrische Kochplatte 2,8 Millionen Jahre betreiben, oder ein 200 Kilowattauto 14 000 Jahre ununterbrochen fahren.
@W.G.: Es ist ganz erstaunlich, wie weit man mit Realschulmathematik in der SRT kommt. Ich kann wirklich mit gutem Gewissen das hier empfehlen: http://www.science-shop.de/artikel/985227
Ihre Rechnung ist natürlich richtig; mit dieser Näherung zeigt man ja gerade, dass der Ausdruck für kleine Geschwindigkeiten gerade das "alte" Ergebnis (+mc2) ergibt. Ich sage ja auch nicht, dass man mit einer Realschulmathematik nichts in der RelTheorie nachvollziehen kann, nur selbstständig verlässlich argumentieren kann man so nicht. Sonst gäbe es nicht so viele, die die Relativitätstheorie als Irrtum entlarven wollen.
@Lichtecho
Vielen Dank für den Tipp. Ich schaue da mal rein.
Es stimmt eben nicht, wenn Steffen Rehm schreibt:
"...nur 5 Zeichen reichen für einen Nobelpreis."
Einstein bekam den Nobelpreis nicht wegen der Relativitätstheorie, sondern für den Photoelektrischen Effekt, wie in der Nobelpreisurkunde ausdrücklich erwähnt ist.